ОГЭ-математика-задание 15

Обучение онлайн!

Задание 15

 – ОГЭ – профиль-

Задание № 15. Задачи по планиметрии (фигуры на плоскости). Треугольники.

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.

Чтобы решать правильно это задание много сил и нервов тратить не нужно. 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!

2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм решения всех геометрических задач

Алгоритм

1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.

    • Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: “Я и так умный, мне чертить не надо” – не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.

2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными. 

    • Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.

3. Подберите фигуру (или элемент фигуры),  о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.

4. Если на вопрос ответ пока не получен, то  кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.

    • Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
    • Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. “Не лейте воду!” Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами “ну, эта штука”.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.

5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения

  1. в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
  2. в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
  3. в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
  4. в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.

6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.

8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!

[collapse]

Правила

– учим –

-не читаем! не смотрим! учим!-

  • Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.

Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).

Из чего состоит треугольник

Из чего состоит треугольник

Угол – это пространство между двумя лучами, выходящими из одной точки. Угол – это НЕ точка, НЕ вершина, НЕ линия.

  1. Развернутый угол – образуют два луча, лежащие на одной прямой. 
  2. Прямой угол равен 90 градусов.
  3. Острые углы (все) – меньше 90 градусов.
  4. Тупые углы (все) – больше 90 градусов.
  5. Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми, “смотрят друг на друга носиками”, находятся друг напротив друга.
  6. Смежные углы: одна сторона общая, две другие стороны образуют прямую линию.
  7. Накрест лежащие углы образованы двумя прямыми и секущей, лежат по разные стороны от секущей.
  8. Внутренние углы образованы двумя прямыми и секущей, лежат с одной стороны от секущей.
  9. Внутренние углы треугольника лежат внутри треугольника.
  10. Внешние углы треугольника лежат вне треугольника на продолжении сторон треугольника.
  11. Соответственные углы образованы двумя прямыми и секущей.
  12. Центральные углы: вершина угла лежит в центре окружности.
  13. Вписанные углы: вершина угла лежит на окружности.
  14. Сторона – отрезок между вершинами фигуры;
  15. Биссектриса – луч, проведенный из вершины угла;
  16. Медиана – отрезок, проведенный из вершины угла к середине противолежащей стороны;
  17. Высота, перпендикуляр – отрезок, проведенный к прямой (другому отрезку, лучу) под углом 90 градусов; высота (перпендикуляр) могут выходить как из вершины угла, так и из любой точки, лежащей на плоскости;
  18. Средняя линия – линия, проведенная через середины сторон фигуры;
  19. Вершина – точка, в которой пересекаются стороны фигуры.

[collapse]
Свойства частей треугольника

Свойства частей треугольника

  1. Вертикальные углы равны.
  2. Смежные углы в сумме равны 180º.
  3. Сумма углов в любом треугольнике равна 180º.
  4. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним углов.
  5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  6. Углы равностороннего треугольника равны 60º (все).
  7. Углы при основании равностороннего треугольника равны.
  8. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
  9. Высота равнобедренного и равностороннего треугольников является также медианой и биссектрисой.
  10. Высота равнобедренного и равностороннего треугольников разбивает их на два равных прямоугольных треугольника.
  11. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из его прямого угла, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
  12. Высота тупоугольного треугольника может выходить за пределы треугольника (к продолжению его стороны).
  13. Биссектриса делит угол на две равные части.
  14. Все точки, лежащие на биссектрисе, равноудалены от сторон угла (или треугольника).
  15. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону, относятся друг к другу так же как стороны треугольника.
  16. В равнобедренном треугольнике только одна медиана является высотой и биссектрисой, она проводится к основанию.
  17. В равностороннем треугольнике все медианы являются высотами и биссектрисами.
  18. Медиана любого треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (треугольники с равными площадями).
  19. Медиана любого треугольника всегда находится внутри треугольника.
  20. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  21. Точка пересечения медиан любого треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
  22. Средняя линия треугольника и трапеции параллельна основаниям.
  23. Средняя линия треугольника равна половине основания.

[collapse]
Какие бывают треугольники

Треугольник

  1. Разносторонние треугольники: все стороны имеют разную длину.
  2. Равнобедренные треугольники: две стороны равны, не боковые, а именно две! Третья сторона называется основанием, не та, что лежит внизу, а та, что не равна другим.
  3. Равносторонние треугольники: все (три) стороны равны.
  4. Прямоугольный треугольник: один из углов равен 90 градусов (только один, все остальные меньше 90 градусов).
  5. Остроугольный треугольник: все (три) углы меньше 90 градусов.
  6. Тупоугольный треугольник: один из углов больше 90 градусов.

[collapse]
Свойства треугольников

Свойства треугольников

1. Прямоугольные треугольники

  • cамая длинная сторона называется гипотенузой. Она всегда лежит напротив угла 90º, две другие стороны называются катетами;
  • косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • cинус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

2. Формулы площадей треугольников:

    \[ S=\frac{ah}{2}; S=\frac{ab}{2}; S=absin\angle C; S=pr; S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

    \[S=\frac{abc}{4R}; S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\]

 

  • a,b, – стороны треугольника; h – высота треугольника, ∠C – угол между сторонами треугольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; p – полупериметр треугольника.

3. Площади одного и того же треугольника, найденные разными способами, равны.

4. Cредняя линия треугольника равна половине стороны треугольника, которой параллельна.

5. Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

6. Все медианы равностороннего треугольника являются и высотами, и биссектрисами.

7. Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром и вписанной и описанной окружности.

8. Только одна медиана равнобедренного треугольника является высотой и биссектрисой, она проведена к основанию.

9. Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180º.

10. Углы при основании равнобедренного треугольника (основание – это сторона, не равная другим сторонам, а не лежащая внизу).

11. Углы равностороннего треугольника равны 60º.

12. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

13. Признаки равенства треугольников:

    • если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
    • если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
    • если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

14. В равных треугольниках все соответствующие углы и стороны равны.

15. Площади равных треугольников равны.

16. Признаки подобия треугольников:

    • если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
    • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны;
    • если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

17. Чтобы найти коэффициент подобия нужно разделить сторону одного треугольника на соответствующую сторону другого треугольника.

18. Площади подобных треугольников относятся друг к другу как коэффициент подобия в квадрате.

19. Теорема косинусов a2=b2+c2-2bccos ∠A, где а, в, с – стороны треугольника, ∠ А – угол напротив стороны а.

20. Теорем синусов

    \[ \frac{a}{sin\angle A}=\frac{b}{sin\angle B}=\frac{c}{sin\angle C}\]

21. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}; r=\frac{h}{3}\]

 

22. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника:

    \[ r= \frac{a\sqrt{3}}{3}; r=\frac{2h}{3}\]

 

23. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (а, b – катеты, с – гипотенуза), равен

    \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

  

24. Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника (а – сторона, лежащая напротив угла α):

    \[r= \frac{a}{2sinA}\]

  

25. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

[collapse]
Задачи для тренировки

  1. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=58°, AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
  2. В треугольнике ABC известно, что АС=11, BM – медиана, BM=10. Найдите АM.
  3. В треугольнике два угла равны 71° и 32°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
  4. В треугольнике ABC угол C равен 101°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
  5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=47°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
  6. В треугольнике одна из сторон равна 15, а опущенная на нее высота – 13. Найдите площадь треугольника.
  7. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=4, DC=11 . Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника BCD.
  8.  Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 19, сторона BC равна 21, сторона AC равна 23. Найдите MN.
  9. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=66, AC=44, MN=24. Найдите AM.
  10. В треугольнике ABC известно, что AB=14, BC=5, sin ∠ABC = 6/7. Найдите площадь треугольника ABC.
  11. В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=4√6. Найдите AC.
  12. В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=10, AC=11. Найдите cos ∠ABC .
  13. В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABС=106°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
  14. Высота равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите его периметр.
  15. Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите высоту этого треугольника.
  16. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 21°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
  17. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
  18. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
  19. Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
  20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, M – середина стороны AB, AB=32, BC=12. Найдите CM.
  21. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=16. Найдите CH.
  22. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=11, AB=20. Найдите sinB.
  23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=72, AB=75. Найдите cosB.
  24. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB.
  25. Синус острого угла A треугольника ABC равен 3√11/10. Найдите cosA.
  26. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB =4/9, AB=18. Найдите AC.

[collapse]