Треугольник — 9

1. Треугольник — многоугольник, состоящий из трех отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой.

2. У каждого треугольника: три угла, три вершины, три стороны.

3. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180º.

4. Внешний угол треугольника — угол смежный с внутренним углом треугольника.

5. Равносторонний треугольник — правильный многоугольник, у которого все три стороны и три угла равны. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

6. Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны, они называются боковыми, третья сторона называется основанием.

7. Теорема: углы при основании равнобедренного треугольника равны.

8. Углы при основании равнобедренного треугольника не могут быть тупыми.

9. Теорема: биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию треугольника, является также медианой и высотой.

10. Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90º. Два остальных угла острые, их сумма 90º.

11. Прямоугольный треугольник может быть равнобедренными, тогда его углы равны 90º, 45º, 45º.

12. Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все углы острые.

13. Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол тупой.

 

 

14. В треугольнике напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

15. Неравенство треугольников: сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

16. Средняя линия треугольника — отрезок, проведенный через середины двух сторон, средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

17. Медиана — отрезок, проведенный из вершины угла к середине противолежащей стороны. У каждого треугольника три медианы, все они лежат внутри треугольника.

18. Все медианы пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая о вершины.

19. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Равновеликие треугольники — треугольники, у которых равны площади.

20. Биссектриса — луч, который проведен из вершины треугольника и делящий этот угол пополам. Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

21. Биссектриса делит противолежащую сторону в таком же отношении, в котором находятся боковые стороны. 

22. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

23. В любой треугольник можно вписать окружность.

24. Высота — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне. У каждого треугольника 3 высоты. У прямоугольного треугольника две стороны совпадают с катетами.

25. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр треугольника может лежать вне фигуры, если в треугольнике есть тупой угол.

26. Не все высоты треугольника могут лежать внутри треугольника. Если в треугольнике есть тупой угол, то высоты, проведенные из острых углов , будут опираться на продолжение сторон треугольника.

 

27. Срединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через ее середину. У каждого треугольника их три. Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника является центром  описанной окружности. Точка пересечения срединных перпендикуляров может лежать вне треугольника, если в нем есть тупой угол.

28. Точка пересечения срединных перпендикуляров прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы.

29. В прямоугольном треугольнике стороны имеют особые названия:

  • катеты (две меньшие стороны);
  • гипотенуза (самая большая сторона, лежит напротив угла 90º).

30. Катет, лежащий напротив угла 30º равен половине гипотенузы.

31. Если катет равен половине гипотенузы, то напротив него лежит угол 30º.

32. Теорема Пифагора:

  • сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы;
  • для запоминания можно так: катет²+катет²=гипотенуза² (никогда не запоминайте эту теорему в буквах, потом будете путаться и ошибаться).

33. Обратная теорема Пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник называется прямоугольным.

34. Треугольники называются равными, если элементы одного треугольника (стороны и углы) соответственно равны углам другого треугольника. Равные треугольники при наложении совпадают. Площади и периметры равных треугольников равны.

35. Признаки равенства треугольников:

  • первый признак (теорема): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
  • второй признак (теорема): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
  • третий признак (теорема): если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

36. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
  • если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
  • теорема: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
  • теорема: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

 

37. Подобие треугольников:

  • два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (пропорциональны — все пары соответствующих сторон отличаются в одинаковое количество раз).
  • число, которое показывает во сколько раз отличаются стороны одного треугольника от сторон другого, называется коэффициентом подобия;
  • отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия;
  • признаки подобия:
    • первый признак (теорема): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
    • второй признак (теорема): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны;
    • третий признак (теорема): если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны .

38. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу и исходному треугольнику.

39. Высота прямоугольного треугольника CD, проведенная из вершины прямого угла: CD=\sqrt{AD\cdot DB} (величина, которую можно рассчитать по такой формуле, называется средним пропорциональным или средним геометрическим (не путать со средним арифметическим)).

40. Катет прямоугольного треугольника, в котором высота разбила гипотенузу на две части: АС=\sqrt{AD\cdot AB} (эта величина так же  называется средним пропорциональным или средним геометрическим (не путать со средним арифметическим)).

41. Периметр любого треугольника — сумма длин всех (трех) сторон.

42. Площадь:

  • любого треугольника: S=\frac{ah}{2}, h — высота треугольника, a — сторона, к которой проведена высота;
  • любого треугольника: S=\frac{absin\alpha}{2}, a,b — стороны треугольника, α — угол между ними;
  • для любого треугольника (формула Герона): S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, р- полупериметр треугольника (периметр разделить на 2), а,в,с — стороны треугольника;
  • прямоугольного треугольника: S=\frac{ab}{2}, a,b — катеты прямоугольного треугольника;
  • если высоты двух треугольников равны, то площади относятся как основания: S1:S2=a1:a2.

43. Теорема синусов: \frac {a}{sinA}=\frac {b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R, a,b,c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

44. Теорема косинусов: c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC, a,b,c — стороны треугольника, ∠С — угол между сторонами а и b.