Векторы — Learn-to-learn.com

Весь материал этого раздела впер.

1. Физические величины характеризующиеся не только числовым значением, но и направлением, называются векторами.

2. Примеры векторных величин: скорость, ускорение, перемещение, сила и т.д.

3. Величины, которые характеризуются только числовыми значениями, называются скалярными.

4. Примеры скалярных величин: масса, время, плотность и т.д.

5. В геометрии вектор — это направленный отрезок. Одна граничная точка отрезка называется началом вектора, вторая граничная точка — концом вектора, конец вектора обозначается на чертеже стрелкой.

6. Векторы обозначаются двумя способами:

одной строчной латинской буквой ā;
двумя заглавными латинскими буквами $\vec{AB}$ .

7. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

8. Любая точка также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с концом.

9. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, которым он обозначен. Длина вектора величина всегда положительная.

10. Коллинеарные векторы — ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или лежащие на параллельных прямых. Нулевые векторы коллинеарны любым векторам.

11. Сонаправленные векторы — ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.

12. Противоположно направленные векторы — ненулевые коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.

13. Вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

14. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и только один.

15. Действия с векторами:

сложение векторов: правило треугольника;
сложение векторов: правило параллелограмма;
ā+0=ā;
теорема: ā+(-ū)=ā-ū;
произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор;
для любого числа n и любого вектора ā, векторы ā и nā коллинеарны;
(kl)ā=k(lā) (сочетательный закон); k,l — любые числа, ā — любой вектор;
(k+l)ā=kā+lā (первый распределительный закон); k,l — любые числа, ā — любой вектор;
k(ā+ū)=kā+kū (второй распределительный закон); k — любое число, ā, ū — любые векторы.

16. Лемма — вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается другая теорема.

17. Лемма: если векторы ā и ū коллинеарны и ā≠0, то существует такое число k, что ū= K•ā.

18. Если вектор ȳ представлен в виде ȳ=хā+уū, то говорят, что вектор ȳ разложен по векторам ā и ū. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

19. Теорема: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным коллинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

20. Скалярное произведение векторов: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |cos(\widehat{\vec{a}\vec{b}})$ , $\widehat{\vec{a}\vec{b}}$ — угол между векторами.

21. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a}\cdot \vec{a}=\left | \vec{a} \right |^{2}$ .

22. Скалярное произведение в координатах. Если вектор $\vec{a}$ (x₁;y₁), $\vec{b}$ (x₂;y₂), то $\vec{a}\cdot \vec{b}$ =x₁x₂+y₁y₂.

23. Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны. И наоборот, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

24. Косинус угла между ненулевыми векторами

$cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}$ ;
$cos\alpha =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$ .

25. Свойства скалярного произведения:

$\vec{a}^{2}$ ≥0;
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ (переместительный закон);
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec {c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ (распределительный закон);
$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$ (сочетательный закон).