ОГЭ-математика-задачи про листы бумаги

Обучение онлайн!

Задание № 1

— ОГЭ — математика

— задачи о листах бумаги —

Правила

Правила

  • Самый большой лист имеет формат А0. Это прямоугольник шириной 841 мм и длиной 1189 мм. (не надо запоминать). Если его разрезать пополам, как показано на рисунке, то получится два листа формата А1. Это также прямоугольники, чтобы узнать их ширину и длину, нужно размеры листа А0 разделить на 2: ширина = 420 мм и длина = 595 мм.
  • Если продолжить разрезание листов, то буду получаться листы формата А2, А3, А4 и так далее, их размеры будут уменьшаться каждый раз в два раза). (см рисунок)
  • Возможные форматы листов: А0; А1; А2; А3; А4 и так далее. Чем больше цифра в формате, тем размеры листа меньше.
  • Чтобы понять какое количество листов получится, изобразите на чертеже лист А0 и начните его делить.
  • Чтобы узнать ширину или длину листа нужного формата, подпишите на рисунке известные размеры какого-нибудь листа (обязательно какие-нибудь размеры будут известны), разделите их пополам, если нужно найти меньший лист или умножьте на два, если нужно найти бОльший лист Подпишите эти размеры на рисунке. Эту процедуру можно (и нужно) повторить до тех пор, пока Вы не дойдете до листа, о котором Вас спрашивают в задании.
  • Площадь любого из этих листов можно найти, если умножить ширину на длину, то есть нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника: S=a•b.
  • Правила округления:
    • подчеркните цифру в разряде, который должен остаться одной чертой;
      • если соседняя справа цифра больше 4, то увеличьте подчеркнутую цифру на единицу, а «хвост» отбросьте;
      • если соседняя цифра меньше 5, то просто отбросьте «хвост».
  • Чтобы округлить до ближайшего целого числа, кратного 10
    • подчеркните цифру в разряде сотен одной чертой;
    • определите какая цифра стоит в разряде десятков (НЕ десятых);
      • если эта цифра больше 4, то увеличьте подчеркнутую цифру на единицу, на месте десятков напишите 0, а «хвост» отбросьте;
      • если эта цифра меньше 5, то на месте десятков напишите ноль, а «хвост» отбросьте..
  • Чтобы найти отношение ширины листа к его длине:
    • найдите ширину;
    • найдите длину;
    • разделите первый результат на второй.
  • Чтобы найти отношение диагонали листа к его меньшей или большей стороне:
    • найти значение диагонали по теореме Пифагора (диагональ является гипотенузой, длина и ширина листа — катеты);.
  • Задачи про шрифты. Так как листы подобны, то
    • неизвестную величину обозначаем за х;
    • делим ширину первого листа на ширину второго;
    • делим высоту шрифта первого листа на высоту шрифта второго листа;
    • приравниваем получившиеся выражения;
    • используя свойство пропорции, находим х.

[свернуть]

Общая информация для всех заданий

  • Общая информация для всех заданий: 

  • Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Каждый из этих листов представляет собой прямоугольник определенной ширины и определенной длины. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 м². Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2 и так далее.
  • Отношение длины листа к его ширине у всех листов равно одному и тому же числу, то все листы подобны друг другу. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
  • На практике размеры листа округляется до целого числа миллиметров.
  • Порядковый номер листа

    Ширина листа (мм)

    Длина листа (мм)

    1

    148

    210

    2

    210

    297

    3

    105

    148

    4

    297

    420

[свернуть]

— Образцы решения —

Определить формат листа

Для листов бумаги форматов А3, А4, А5 и А6 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр.

    • Форматы бумаги А3 А4 А5 А6
      Порядковые номера
    • Решение:
      • необходимое правило: чем МЕНЬШЕ цифра в формате листа, тем БОЛЬШЕ размеры листа;
        • выбираем из таблицы в разделе «Общая информация» для анализа один (ОДИН!) столбик: или с данными по ширине, или с данными о длине (ИЛИ!); 
        • к НАИБОЛЬШЕМУ числу из выбранного столбца вписываем формат с НАИМЕНЬШЕЙ цифрой из таблицы ответов (в нашей таблице ответов указаны форматы: А3; А4; А5; А6);
        • Порядковый номер листа Ширина листа (мм) Длина листа (мм)
          1 148 (А5) 210
          2 210 (А4) 297
          3 105 (А6) 148
          4 297 (А3) 420
        • выписываем в таблицу ответов к каждому формату соответствующий порядковый номер: 
        • Формат бумаги А3 А4 А5 А6
          Порядковые номера 4 2 1 3
      • в ответ выписываем: 4213

[свернуть]
Найти количество листов

Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезании одного листа бумаги формата А2?

  • Решение:
    • необходимое правило: все последующие листы получаются в результате разрезания бОльшего листа пополам (на две равные части); помогаем себе дополнительными построениями;
      • рисуем для себя лист и принимаем, что его формат А2;
      •  разделим его пополам, так мы получим два листа формата А3;
      • разделим ОБА листа А3 пополам, получим четыре листа формата А4;
      • разделим все четыре листа А4 пополам, получим 8 листов формата А5;
      • разделим ВСЕ восемь листов пополам, получим 16 листов формата А6;
    • в ответ выписываем: 16

[свернуть]
Найти длину стороны листа

1. Найдите длину бОльшей стороны листа бумаги формата А1. Ответ дайте в миллиметрах.

    • Решение:
      • необходимое правило: пользуемся данными из предыдущих заданий; помогаем себе дополнительными построениями;
        • из задания 1 найдем тот формат, что ближе всего к формату А1; в нашем случае это формат А3;
        • выполним чертеж, на котором покажем (СЕБЕ) как из листа А0 получаются форматы А1 и А3; подпишем на чертеже размеры листа А3 (берем их из таблицы в задании 1);
        • по чертежу видим, что бОльшая сторона листа А1 состоит из двух сторон листа А3, равных 420;
        • 420+420=840;
      • в ответ выписываем 840

2. Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А1. Ответ дайте в миллиметрах.

        • Решение:
          • необходимое правило: пользуемся данными из предыдущих заданий; помогаем себе дополнительными построениями;
            • из задания 1 найдем тот формат, что ближе всего к формату А1; в нашем случае это формат А3;
            • выполним чертеж, на котором покажем (СЕБЕ) как из листа А0 получаются форматы А1 и А3; подпишем на чертеже размеры листа А3 (берем их из таблицы в задании 1);
            • по чертежу видим, что меньшая сторона листа А1 состоит из двух сторон листа А3, равных 297;
            • 297+297=594;
          • в ответ выписываем 594

[свернуть]
Найти отношение сторон листа

1. Найдите отношение длины бОльшей стороны листа к меньшей у бумаги формата А5. Ответ дайте с точностью до десятых.

    • Решение:
      • необходимые правила: используем данные из предыдущих заданий или учим наизусть, что отношение бОльшей стороны к меньшей ВСЕГДА 1,4;
      • из задания 1 (из таблицы) выписываем значение длины и ширины А5, при этом значение длины в числитель, а значение ширины в знаменатель, получим 210/148=1,4
      • в ответе пишем: 1,4

2. Найдите отношение длины диагонали листа формата А6 к его большей стороне. Ответ округлите до десятых.

    • Решение:
      • необходимые правила:
          1. используем данные из предыдущих заданий;
          2. диагональ листа является гипотенузой;
          3. длина и ширина листа являются катетами;
          4. т. Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов;  правила округления;
      • из задания 1 выписываем значение длины и ширины: 105 мм и 148 мм;
      • по теореме Пифагора найдем гипотенузу: 105²+148²=11025+21904=32929; не забываем извлечь квадратный корень: 181,46
      • запишем соотношение и округлим до десятых: 181,46/148= 1,2;
    • в ответе пишем: 1,2

[свернуть]
Найти площадь листа

Найдите площадь листа бумаги формата А4. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

  • Решение:
    • необходимое правило: пользуемся данными из предыдущих заданий; лист имеет форму прямоугольника; площадь прямоугольника = ширина × длина;
      • из задания 1 выписываем ширину и длину листа А4; в нашем случае это 210мм и 297мм;
      • переводим эти значения в см:
        • 210:10=21 и 297:10=29,7;
      • площадь = 21×29,7=623,7 см²;
    • в ответ выписываем: 623,7

[свернуть]
Размер типографского шрифта

1. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А4 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 12 пунктов на листе формата А5? Размер шрифта округлите до целого.

Решение:

    • необходимое правило:
          1. отношение бОльшего листа к меньшему = отношение шрифта с бОльшего листа к шрифту с меньшего листа;
          2. отношение бОльшего листа к меньшему ВСЕГДА равно 1,4;
          3. чем больше цифра в формате листа, тем размеры листа меньше;
          4. правила округления;
    • что известно?
          1. отношение бОльшего листа к меньшему = 1,4;
          2. шрифт на меньшем листе 12;
          3. шрифт на бОльшем листе х;
    • подставляем все известное и неизвестное в формулу и округляем: 1,4=х/12, отсюда х=17;
  • в ответ выписываем: 17
2. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округлите до целого.

Решение:

      • необходимое правило:
          1. отношение бОльшего листа к меньшему = отношение шрифта с бОльшего листа к шрифту с меньшего листа;
          2. отношение бОльшего листа к меньшему ВСЕГДА равно 1,4;
          3. чем больше цифра в формате листа, тем размеры листа меньше;
          4. правила округления;
      • что известно?
          1. отношение бОльшего листа к меньшему = 1,4;
          2. шрифт на меньшем листе х;
          3. шрифт на бОльшем листе 16;
      • подставляем все известное и неизвестное в формулу и округляем: 1,4=16/х, отсюда х=11;
  • в ответ выписываем: 11

[свернуть]
Найти массу упаковки

Бумагу формата А5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение:

      • необходимые правила:
          1. используем данные из предыдущих заданий;
          2. площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину;
          3. масса некоторого количества листов = площадь одного листа × на количество листов × массу 1 м²;
      • из задания 1 выписываем значения длины и ширины листа А5: 210мм и 148мм; сразу переведем эти значения в метры, 210:1000=0,21 м и 148:1000=0,148 м;
        • найдем площадь листа А5: 0,21×0,148=0,03108 м²;
        • по формуле найдем массу 500 листов: 0,03108×500×80=1243,2 грамма;

в ответе пишем: 1243,2

[свернуть]

 

— Тренировочные задания- 

Общая информация для всех заданий:

  • Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Каждый из этих листов представляет собой прямоугольник определенной ширины и определенной длины. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 м². Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2 и так далее.
  • Отношение длины листа к его ширине у всех листов равно одному и тому же числу, то есть все листы подобны друг другу. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
  • На практике размеры листа округляются до целого числа миллиметров. 
Вариант 1

Вариант 1

1.В таблице даны размеры листов неизвестных форматы. Установите соответствия между форматами и номерами листов бумаги из таблицы. Заполните таблицу,  в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр.

Номер листа Длина (мм) Ширина (мм)
1 841 594
2 1189 841
3 297 210
4 594 420
А0 А1 А2 А4
? ? ? ?

Ответ: 2143.

2. Сколько листов формата А5 получится из одного листа формата А1?

Ответ: 16.

3. Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А3. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: 297.

4.  Найдите площадь листа формата А1. Ответ дайте в см².

Ответ: 4995,54.

5. Бумагу формата А1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ: 4795,7184.

6. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.

Ответ: 21.

7. Найдите отношение длины большей стороны листа формата А3 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,4.

8. Найдите отношение длины диагонали листа формата А4 к его большей стороне. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,2.

[свернуть]
Вариант 2

Вариант 2

1.В таблице даны размеры листов, имеющих некоторые форматы. Установите соответствия между форматами и номерами листов бумаги из таблицы. Заполните таблицу,  в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр.

Номер листа Длина (мм) Ширина (мм)
1 210 148
2 594 420
3 420 297
4 841 594
А1 А2 А3 А5
? ? ? ?

Ответ: 4231.

2. Сколько листов формата А3 получится из одного листа формата А0?

Ответ: 8.

3. Найдите длину большей стороны листа бумаги формата А0. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: 1188.

4. Найдите площадь листа формата А3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 1247,4.

5. Бумагу формата А3 упаковали в пачки по 100 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 90 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ: 1122,66.

6. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 12 пунктов на листе формата А5? Размер шрифта округляется до целого.

Ответ: 24.

7. Найдите отношение длины большей стороны листа формата А6 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,4.

8. Найдите отношение длины диагонали листа формата А5 к его большей стороне. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,2.

[свернуть]
Вариант 3

Вариант 3

1.В таблице даны размеры листов, имеющих некоторые форматы. Установите соответствия между форматами и номерами листов бумаги из таблицы. Заполните таблицу,  в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр.

Номер листа Длина (мм) Ширина (мм)
1 297 210
2 148 105
3 594 420
4 210 148
А2 А4 А5 А6
? ? ? ?

Ответ: 3142.

2. Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А0?

Ответ: 64.

3. Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А3. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10. 

Ответ: 300.

4. Найдите площадь листа формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 150.

5. Бумагу формата А3 упаковали в пачки по 150 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 100 г. Ответ дайте в граммах. 

Ответ: 1871,1.

6. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 14 пунктов на листе формата А2? Размер шрифта округляется до целого.

Ответ: 5 .

7. Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А2 к большей. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 0,7.

8. Найдите отношение длины диагонали листа формата А1 к его меньшей стороне. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,7.

[свернуть]

Вариант 4

Вариант 4

1.В таблице даны размеры листов, имеющих некоторые форматы. Установите соответствия между форматами и номерами листов бумаги из таблицы. Заполните таблицу,  в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр.

Номер листа Длина (мм) Ширина (мм)
1 594 420
2 148 105
3 210 148
4 841 594
А1 А2 А5 А6
? ? ? ?

Ответ: 4132.

2. Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А2?

Ответ: 16.

3. Найдите длину большей стороны листа бумаги формата А4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10. 

Ответ: 300.

4. Найдите площадь листа формата А6. Ответ дайте в см².

Ответ: 155,4.

5. Бумагу формата А4 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 95 г? Ответ дайте в граммах.

Ответ: 2962,575.

6. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А2 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 18 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.

Ответ: 36.

7. Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А3 к большей. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 0,7.

8. Найдите отношение длины диагонали листа формата А2 к его меньшей стороне. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 1,7.

[свернуть]