ОГЭ-математика-задание 9

 

Задание № 9

— ОГЭ — математика —

— решение уравнений —

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения- 7 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • необходимые знания и умения формируются в 4-9 классах;

 

Решать уравнения все учатся еще в первом классе. Поэтому к ОГЭ почти все умеют это делать, если же Вы из тех, кому 9 лет не хватало времени, научиться решать уравнения, сейчас придется приложить много усилий, чтобы выучить все необходимые правила.

 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1шаг. Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

2 шаг. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. «По памяти» — не подглядывая, ни на секунду, ни «одним глазком», ни «чтобы просто убедиться». При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

3 шаг. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы — это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Чем больше уравнений Вы прорешаете, тем быстрее правила закрепятся в памяти, поэтому практика, практика и еще раз практика.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм решения линейных уравнений

Алгоритм решения линейных уравнений

1. Уравнение линейное, если максимальная степень у переменной равна единице.

2. Это уравнение уровня 1-2 класса, поэтому при решении можно использовать правила начальной школы:

  • как найти слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое; делимое; делитель; множитель;

3. Можно воспользоваться приемом 5-6 класса:

  • все, что не известно, перенести налево, все, что известно, перенести вправо.

4. А можно просто составить себе выражение, в котором все будет известно и которое будет состоять из маленьких чисел. Выразить из него необходимое число, а потом повторить процедуру с заданным уравнением.

  • например, x+4=16
    • х — участвует в сложении, составлю выражение на сложение, где все известно: 2+3=5;
    • в этом выражении мне нужно найти 2 (потому что х в заданном уравнении тоже стоит на первом месте): 2=5-3;
    • таким же образом найду х: х=16-4, то есть х=12.
  • Ответ: х=12.

Помните!

1. При переносе числа или переменной в другую часть уравнения обязательно поменяйте знак на противоположный.

2. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть другое слагаемое.

3. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

4. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

5. Чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель.

6. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

7. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

8. Если сложно запомнить эти правила, то просто составьте себе пример, состоящий из небольших чисел, похожий на Ваше уравнение, обведите в кружок то, что хотите найти. Найдите это в записанном примере, а потом повторите все тоже самое с Вашим уравнением.

[свернуть]
Образцы решения линейных уравнений

Задание: 6х-27=15х+9

1.Анализирую: максимальная степень х равна одному. Уравнение линейное.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. Уравнение линейное, поэтому переношу все неизвестное влево, известное вправо: 6х-15х=9+27.

4. Вычисляю: -9х=36, то есть х=-4.

5. Ответ: -4.

[свернуть]
Линейные уравнения. Тестирование.

 

Алгоритм решения квадратных уравнений

Алгоритм решения квадратных уравнений

1. Уравнение квадратное, если максимальная степень у переменной равна двум.

2. Если Вам досталось полное квадратное уравнение, то

  • выпишите значения коэффициентов а,в,с;
  • найдите дискриминант;
  • найдите корни;
  • помните! чтобы решить полное квадратное уравнение, нужно все его члены перенести налево!

3. Если Вам досталось неполное квадратное уравнение, то

  • можно вынести общий множитель за скобку, далее решать уравнение по частям (каждый множитель приравнять к нулю по отдельности);
  • можно свободное число (число без переменной) перенести направо и извлечь квадратный корень (помните, что Вы получите два корня; одно значение с плюсом, второе с минусом);

4. Если в уравнении даны формулы сокращенного умножения, то сначала раскройте их.

  • если в результате раскрытия формул сокращенного умножения получилось линейное уравнение, то далее пользуйтесь алгоритмом решения линейного уравнения.

[свернуть]
Образцы решения квадратных уравнений

1. Задание х2-15=(х-15)2

1. Максимальная степень переменной равна двум, то есть это квадратное уравнение.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. В уравнении есть формула сокращенного умножения, раскрою скобку в правой части уравнения по формуле квадрата суммы:

 х2-15=х2-30х+225

4. Перенесу все в одну сторону: 30х-240=0.

5. Далее решаю как линейное уравнение:

30х-240=0

/30х — участвует в вычитании, является уменьшаемым, чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое/

30х=0+240

30х=240

30х=240 /х — участвует в умножении, является множителем, чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель/

х=240:30

х=8

6. Ответ: 8.

2.Задание (х+11)2=44х

1. Максимальная степень переменной равна двум, то есть это квадратное уравнение.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. В уравнении есть формула сокращенного умножения:

х2+22х+121=44х;

4. Перенесу все в левую часть: х2-22х+121=0.

5. Вижу здесь формулу сокращенного умножения: квадрат разности

(х-11)2=0

х-11=0

х=11

Ответ: 11.

[свернуть]
Квадратные уравнения. Тестирование.

 

Алгоритм решения уравнений с дробями

Алгоритм

1. Если в уравнении есть дробь, то в уравнении есть ограничения:

  • знаменатель не может быть равен 0;
  • знаменатель — то, что стоит под дробью;
  • все, что стоит под дробью, а не только х;
  • решаем получившееся неравенство, находим запрещенные значения х (получаем конкретные значения).

2. Если в уравнении есть дробь или дроби, то от них надо избавиться:

  • определяем общий знаменатель;
  • домножаем все уравнение (каждую дробь, левую и правую части уравнения) на общий знаменатель;
  • если слева и справа от знака равно стоит по одной дроби, то можно решать это уравнение как пропорцию (крест-накрест).

3. После избавления от дроби, решаем уравнение как линейное или квадратное.

4. Полученный ответ проверяем на ограничения (обязательно!).

[свернуть]
Образцы решения уравнений с дробями

1.Найдите корень уравнения 

    \[ \frac{x-5}{2x-7}=\frac{x-5}{x-8} \]

В ответе запишите больший корень.

1. В уравнениях с дробями есть ограничения, поэтому выписываю знаменатель (каждый отдельно), он не может быть равен нулю:

      • 2х-7≠0 
        • 2х≠7 
        • х≠3,5
      • х-8≠0 
        • х≠8

2. Справа и слева от знака равно по одной дроби, то есть можем воспользоваться правилом пропорции (перемножаем крест-накрест):

      • (х-5)(х-8)=(х-5)(2х-7)
      • перенесем все в одну сторону: (х-5)(х-8)-(х-5)(2х-7)=0
      • вынесу общий множитель за скобку (х-5)(х-8-2х+7)=0
      • приравняю каждую скобку к нулю и решу получившиеся уравнения
        • х-5=0 и -х-1=0
        • х=5 и х=-1

3. Проверяю найденные корни на соответствие ограничениям. Подходят оба.

4. Выбираю один нужный корень с учетом требований заданий. Подходит 5.

Ответ: 5.

2.Найдите корень уравнения:

    \[\frac{1}{2x-3}=\frac{1}{8}\]

.

1.В уравнении есть дроби, поэтому записываю ограничения: 2х-3≠0, то есть х≠1,5.

2. Такое уравнение удобно решать как пропорцию:

(2х-3)•1=8•1

2х-3=8

2х=11

х=5,5

3. Ответ: 5,5

3.Найдите корень уравнения

    \[\frac{x-2}{12x-22}=\frac{x-2}{10x+6}\]

.

Если в ответе более одного корня, запишите наибольший.

1. В уравнении есть дроби, поэтому выпишем ограничения (для каждого знаменателя свое):

  • 12х-22≠0, то есть х≠22/12, х≠-6/10
  • 10х+6≠0, то есть х≠11/10, х≠-3/5

2. Такое уравнение удобно решать как пропорцию:

(х-2)(10х+6)=(х-2)(12х-22)

(х-2)(10х+6-12х+22)=0

х-2=0 или -2х+28=0

3. То есть х=2; х=14, проверяем их на ограничения.

4. Наибольший корень 14.

5. Ответ: 14.

 

[свернуть]
Общие правила

Общие правила

1.  Если в уравнении нет корня, знаменателя, логарифма, синуса или косинуса, то ограничений нет.

2. Дробь равна нулю, если знаменатель НЕ равен нулю, а числитель равен нулю. 

3. Если есть корень четной степени, то в уравнении обязательно есть ограничение. Подкоренное выражение должно быть больше или равно 0.

4. Учим формулы сокращенного умножения и не путаем их:

    • (a±b)2=a2±2ab+b— квадрат суммы и квадрат разности;
    • a2-b2=(a-b)(a+b) — разность квадратов;
    • a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) — разность кубов;
    • a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) — разность кубов.

[свернуть]
Тренировочные задания

Задания для тренировки

1. Решение линейных уравнений с произведением выражений в скобках и формулами сокращенного умножения.

  • (2х-5)(19+2х)=0. В ответе запишите меньший корень.

  • (3х-18)²=0

  • (17-4х)(2х+22)=(2-8х)(х+4)

  • (х-3)²=(10-х)²

2. Решение квадратных уравнений

  • 2х²-4х=0. В ответе запишите больший корень.

  • х²-16=0. В ответе запишите меньший корень.

  • 5х²=9х. В ответе запишите больший корень.

  • х²-5х+6=0. В ответе запишите меньший корень.

  • х²-16=6х. В ответе запишите меньший корень.

  • 2х²-3х=-1. В ответе запишите больший корень.

  • х²=8-7х. В ответе запишите меньший корень.

  • 5х-7=-х². В ответе запишите больший корень.

3. Линейные уравнения:

  • 2-4(х+1)=6-2х
  • 2+(5х+4)/2=7х/4
  • 2-х/4=х/5
  • 3х+5+(х+5)=(1-х)+4
  • 5х+4=9х
  • -х-3+3(х+1)=3(2-х)-3
  • 3(х+4)=18
  • -9(8-9х)=4х+5
  • 1-3х=-2х+6
  • 11+х/2=х-3
  • 3х+4=-6
  • 5х+9=0
  • х/12+х/8+х=-58/6.

[свернуть]