ОГЭ-математика-задание 17

Обучение онлайн!

Задание 17

 – ОГЭ – профиль-

Задание № 17. Задачи по планиметрии (фигуры на плоскости). Четырехугольники.

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.

Чтобы решать правильно это задание много сил и нервов тратить не нужно. 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!

2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм решения всех геометрических задач

Алгоритм

1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.

    • Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: “Я и так умный, мне чертить не надо” – не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.

2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными. 

    • Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.

3. Подберите фигуру (или элемент фигуры),  о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.

4. Если на вопрос ответ пока не получен, то  кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.

    • Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
    • Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. “Не лейте воду!” Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами “ну, эта штука”.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.

5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения

  1. в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
  2. в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
  3. в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
  4. в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.

6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.

8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!

[collapse]

Правила

– учим –

-не читаем! не смотрим! учим!-

  • Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.

Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).

Основные правила

Основные правила

  1. Произвольные четырехугольники – фигура из четырех сторон и четырех углов.
  2. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
  3. Квадрат – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, все стороны равны; все углы равны 90 градусов.
  4. Прямоугольник – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, равны; все углы равны 90 градусов.
  5. Ромб – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, все стороны равны.
  6. Трапеция – четырехугольник, у которого только две стороны параллельны друг другу. Их называют основаниями. Они не обязательно должны лежать вверху и внизу, они могут быть по бокам.
  7. Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
  8. Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой один из углов 90 градусов.
  9. Вписанный четырехугольник (окружность снаружи): все (четыре) вершины лежат на одной окружности.
  10. Окружность вписана в четырехугольник: окружность касается всех (четырех) сторон четырехугольника.
  11. Площадь параллелограмма: S=ah, S=absinβ, S=a2, S=ab, S=ad, S=2ar

        \[S=\frac{d_{1}d_{2}sin\gamma}{2}\]

    • a,b – смежные стороны параллелограмма; h – высота параллелограмма; d1,d2 – диагонали параллелограмма; d – диаметр окружности, вписанной в параллелограмм; r – радиус окружности, вписанной в параллелограмм; β – угол между сторонами; γ – угол между диагоналями параллелограмма;
  12. В параллелограмм можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны.
  13. В параллелограмме противолежащие углы и стороны равны.
  14. Сумма любых соседних углов параллелограмма 180º.
  15. Сумма углов параллелограмма 360º.
  16. Диагонали параллелограмма пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам.
  17. Ромб – это параллелограмм, все свойства параллелограмма распространяются и ромб.
  18. Все стороны ромба равны.
  19. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
  20. Две диагонали ромба делят его на 4 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых можно использовать правила для прямоугольных треугольников.
  21. Одна диагональ ромба (любая) делит его на два равнобедренных треугольника, в каждом из них можно применять правила для равнобедренных треугольников.
  22. Диагонали ромба делят его углы пополам.
  23. Периметр ромба – сумма длин четырех сторон, умножьте одну сторону на 4. 
  24. Ромб является квадратом, если его угол (любой) равен 90º.
  25. Ромб является квадратом, если его диагонали равны.
  26. Квадрат и прямоугольник являются параллелограммом, поэтому все свойства параллелограммов распространяются на квадраты и прямоугольники.
  27. Все стороны и углы квадрата равны.
  28. У трапеции только две стороны параллельны – это основания. Это могут быть как верхняя и нижняя сторона, так и правая и левая.
  29. Свойствами параллелограммов пользоваться нельзя.
  30. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
  31. Все высоты трапеции равны.
  32. Высоты равнобедренной трапеции делят ее на два равных прямоугольных треугольника (по бокам) и прямоугольник по центру.
  33. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180º.
  34. Диагонали трапеции образуют подобные треугольники при основаниях трапеции.
  35. Площадь:

        \[S=\frac{(a+b)h}{2}\]

  36. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
  37. Сумма углов трапеции 360º.

[collapse]

 

Задания для тренировки

Параллелограммы

  1. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC =10, BD=22, AB = 9. Найдите DO.
  2. Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
  3. Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
  4. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 70° и 35°. Найдите меньший угол параллелограмма.
  5. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.
  6. Найдите острый угол угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
  7. Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
  8. Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
  9. Площадь параллелограмма ABCD равна 76. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.

Прямоугольник

  1. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO =11, AB =10. Найдите AC.
  2. Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Квадрат

  1. Сторона квадрата равна 3√3. Найдите площадь этого квадрата.
  2. Периметр квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата.
  3. Сторона квадрата равна 3√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Трапеция.

  1. Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
  2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 55°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
  3. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 46°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
  4. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 218°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
  5. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 62° и 9° соответственно.
  6. В трапеции ABCD AB =CD, ∠BDA=54° и ∠BDC =33°. Найдите ∠ABD. Ответ дайте в градусах.
  7. Один из углов прямоугольной трапеции равен 41°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
  8. Один из углов прямоугольной трапеции равен 108°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
  9. В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.
  10. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
  11. Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
  12. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
  13. Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
  14. Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
  15. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 11 и 14. Найдите длину основания BC.
  16. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 6, AD =13, AC = 38. Найдите AO.

Ромб

  1. Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
  2. Один из углов ромба равен 104°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах
  3. В ромбе ABCD угол ABC равен 82°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
  4. Сторона ромба равна 38, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
  5. Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
  6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 и 6.
  7. Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

[collapse]