ОГЭ-математика-задание 16

Обучение онлайн!

Задание 16

 – ОГЭ – профиль-

Задание № 16. Задачи по планиметрии (фигуры на плоскости). Окружности.

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.

Чтобы решать правильно это задание много сил и нервов тратить не нужно. 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!

2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм решения всех геометрических задач

Алгоритм

1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.

    • Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: “Я и так умный, мне чертить не надо” – не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.

2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными. 

    • Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.

3. Подберите фигуру (или элемент фигуры),  о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.

4. Если на вопрос ответ пока не получен, то  кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.

    • Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
    • Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. “Не лейте воду!” Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами “ну, эта штука”.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.

5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения

  1. в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
  2. в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
  3. в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
  4. в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.

6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.

8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!

[collapse]

Правила

– учим –

-не читаем! не смотрим! учим!-

  • Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.

Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).

Общие правила

  1. Окружность – линия, точки которой удалены от центра на одно и то же расстояние. Круг – это НЕ окружность.
  2. Круг – пространство внутри окружности.
  3. Центральные углы: вершина угла лежит в центре окружности.
  4. Вписанные углы: вершина угла лежит на окружности.
  5. Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности и точку на этой же окружности;
  6. Диаметр – отрезок, соединяющий точки окружности и проходящий через центр окружности;
  7. Секущая – прямая или луч, пересекающие фигуру;
  8. Хорда – отрезок, соединяющий точки окружности;
  9. Вписанный треугольник: все (три) вершины лежат на одной окружности.
  10. Окружность вписана в треугольник: окружность касается всех (трех) сторон треугольника.
  11. Вписанный четырехугольник (окружность снаружи): все (четыре) вершины лежат на одной окружности.
  12. Окружность вписана в четырехугольник: окружность касается всех (четырех) сторон четырехугольника.
  13. Вписанная окружность находится внутри фигуры и касается всех ее сторон.
  14. Описанная окружность находится снаружи фигуры и проходит через все ее вершины.
  15. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
  16. Касающиеся окружности имеют одну общую точку.
  17. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90º (всегда).
  18. Угол между радиусом и касательной к окружности равен 90º (всегда).
  19. Противолежащие углы описанного четырехугольника  в сумме равны 180º.
  20. Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну дугу. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  21. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу.
  22. Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром и описанной и вписанной окружности.
  23. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

        \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}; r=\frac{h}{3}\]

     

  24. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника:

        \[ r= \frac{a\sqrt{3}}{3}; r=\frac{2h}{3}\]

  25. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
  26. Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон.
  27. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  28. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, в котором равен а, b – катеты, с – гипотенуза

        \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

     

  29. Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, где а – сторона, лежащая напротив угла А:

        \[r= \frac{a}{2sinA}\]

     

  30. Радиус равен половине диаметра.
  31. Если секущие АР (М и Р – точки пересечения) и АС (В и С – точки пересечения) проведены из одной точки, то АМ•АР=АВ•АС.
  32. Если секущие окружности АВ и СМ пересекаются в точке Р, то АР•РВ=СР•РМ.
  33. Если касательные к окружности проведены из одной точки, то расстояния от этой точки до точек касания одинаковы.
  34. Если из одной точки А проведены и касательная АВ (В – точка касания) и секущая АМ (которая пересекает окружность в точках Р и М), то АВ2=АР•АМ.
  35. Длина все окружности 360º.
  36. Длина окружности 2πr.
  37. Описанная окружность проходит через все вершины фигуры.
  38. Вписанная окружность касается всех сторон фигуры.

[collapse]
Тренировочные задания

Треугольники, углы и окружности

  1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 28°. Ответ дайте в градусах.
  2. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 29°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
  3. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 48°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
  4. На окружности по разные стороны от диаметра DC взяты точки A и B. Известно, что ∠BCD =23° . Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.
  5. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=49° и ∠OAB=38°. Найдите ∠BCO. Ответ дайте в градусах.
  6. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AС=BC и ∠ACВ=56º. Найдите величину угла BOC.
    Ответ дайте в градусах.
  7. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AС=BC и ∠ACВ=132º. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
  8. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°.  Ответ дайте в градусах.

  9. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 15. Найдите BC, если AC=24.

  10. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 8,5. Найдите BC, если AC=8.

  11. В треугольнике ABC известно, что AC=12, BC =5, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Четырехугольники и окружности.

  1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 80°, угол CAD равен 24°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
  2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Eгол ABD равен 46°, угол CAD равен 38°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
  3. В угол В величиной 89° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ
    дайте в градусах.
  4. Касательные в точках A и С к окружности с центром O пересекаются под углом 56°. Найдите угол AСO. Ответ дайте в градусах.
  5. Cторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
  6. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 40.
  7. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14√2. Найдите диагональ этого квадрата.
  8. Сторона квадрата равна 8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
  9. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 26√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
  10. Дуги, хорды, секущие, касательные окружности.
  11. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=140°.  Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги.
  12. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=14, CP =8, DP =10. Найдите AP.
  13. Площадь круга равна 123. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
  14. Площадь круга равна 180. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 30°.

[collapse]