Операции над матрицами
- Квадратная матрица – матрица размером n × n.
- Диагональная матрица – матрица, все элементы которой кроме главной диагонали равны 0. Ее ранг равен количеству ненулевых элементов главной диагонали.
- Нулевая матрица – все элементы матрицы равны 0.
- Матрицы можно перемножить, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
- Матрицы коммутируют, если АВ=ВА.
- Перемножение матриц:
- Складывать/вычитать матрицы можно только, если они одинакового размера.
- Сложение/вычитание матриц: сложить/вычесть соответствующие элементы первой матрицы со второй.
- Умножение матрицы на число: умножить каждый элемент матрицы на заданное число.
- Сложение матрицы и числа:
- 1 шаг: представляем число в виде диагональной матрицы, в которой все элементы главной диагонали равны заданному числу;
- 2 шаг: складываем соответствующие элементы.
- Транспонированная матрица – матрица, у которой все строки превратились в столбцы.
- Крайний элемент матрицы – первый ненулевой элемент строки (слева направо).
- Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.
- Элементарные преобразования матрицы:
- перемена местами двух строк (столбцов);
- умножение строки (столбца) на число отличное от 0;
- прибавление к элементами одной строки элементов другой строки.
- Эквивалентная матрица – матрица, полученная в результате элементарных преобразований.
Ранг матрицы
- Минор матрицы – определитель части матрицы, составленной из квадратной матрицы любого размера, не превышающего размера заданной матрицы.
- Обратная матрица методом присоединенной матрицы.
- Обратная матрица методом элементарных преобразований.
- Решение матричных уравнений:
- Ах=В, то х=А-1В;
- хА=В, то х=ВА-1.
Решение систем линейных уравнений
- Расширенная матрица – это матрица системы и столбец свободных членов.
- Совместная/несовместная система –
- Определенная/неопределенная система –
- Общее решение системы –
- Частное решение –
- Фундаментальное решение –
- Базисные переменные –
- Свободные переменные –
- Метод Гаусса.
- Метод обратной матрицы.
- Метод Крамера.