ЕГЭ-математика-профиль-задание 17

Обучение онлайн!

страница в работе

Задание 17

 – ЕГЭ – профиль-

Исследование функции:

  • рекомендуемое время выполнения – 40 минут;
  • за верное решение можно получить – 4 балла;
  • решение проверяется, можно подать на апелляцию;
  • все необходимые знания и умения формируются в 7-11 классах;

Чтобы решать правильно это задание необходимо знать очень много правил. Но, если Вы справились с 1,4,9,14 заданиями, то доучивать Вам почти ничего не надо. А вот сообразительности, логичности и терпеливости потребуется целый воз. Но оно того стоит, ведь за правильно решенное 17-ое задание Вы получите 4 первичных балла, это очень много.

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма! Если какой-то шаг именно в Вашем задании не выполним, пропустите его.

2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

5. Не ленитесь подробно расписывать свои рассуждения, используйте научный язык. Возможно Ваше логичные рассуждения смогут прикрыть арифметические недочеты, и Вы не потеряете баллы.

6. Не сидите и не мечтайте, не делайте выводов заранее, выполняйте алгоритм пошагово. Действуйте!

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Настраивайте своего ребенка так, чтобы он обязательно попробовал решить это задание, в нем нет ничего сверхъестественного. Просто решение в этом задании состоит из большого количества шагов. Как правило, это и пугает больше всего выпускников. Они считают, если ответ не получен после применения двух правил, значит, что-то идет не так.

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам.

  • просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов;

  • выполнение номера может занять много времени, поэтому за один раз решить большое количество заданий не получится, то есть к тренировке этого номера нужно будет возвращаться несколько дней.

Дополнение:

Этот номер можно решать и графически, и алгебраически. Главное, чтобы результат получился правильным.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Оглавление

Алгоритм (работает для всех типов задач)

Алгоритм (работает для всех типов задач)

1шаг (всегда) Записать ограничения. Ограничения есть, если

  • в задании есть дробь, в знаменателе которой есть переменная. Выписываем знаменатель (весь), он не может быть равен нулю. Находим запрещенные х.
  • в задании есть логарифм. Выписываем подлогарифмическое выражение (если в нем есть переменная), оно должно быть строго больше нуля. Выписываем основание (если в нем есть переменная), оно должно быть строго больше нуля и не равно 1. Решаем получившиеся неравенства (все), находим допустимые промежутки, обобщаем результат.
  • в задании есть корень. Выписываем подкоренное выражение (все; без корня), оно должно быть больше или равно нулю. Находим промежуток с допустимыми значениями х.
  • если в задании несколько ограничений, то рассматриваем все и обобщаем результат, чаще всего это делается на координатной прямой.
  • в тексте решения оформляем так: “Решим … (уравнение, неравенство, систему) при условии, что ….

2шаг. Упростить заданные уравнения, неравенства или системы. Какие могут быть использованы упрощения:

  • приводим заданное выражение к квадратному;
  • исследуем дискриминант;
  • используем свойства параболы;
  • используем замену;
  • выносим общий множитель за скобки;
  • решаем распадающееся уравнение;
  • решаем систему способом подстановки;
  • решаем систему способом сложения, вычитания;
  • приводим к стандартному виду окружности;
  • используем свойства окружности;
  • исследуем функцию с помощью производной;
  • используем свойства тригонометрических функций;
  • применяем формулы сокращенного умножения;
  • применяем тригонометрические формулы;
  • раскрываем модуль;
  • используем формулы логарифмов;
  • Вы должны самостоятельно, без подсказок в задании, увидеть, что можно упростить в задании и какое из правил применить;
  • сообщать в решении о том, что Вы сейчас проводите упрощения не надо;

3шаг. Решаем упрощенное уравнение или неравенство. Как правило, это самая легкая часть задания.

4 шаг. Проверяем найденные корни на соответствие ограничениям и условию задачи. Просто не забудьте этот шаг, выполняется он легко.

5 шаг. Наносим все найденные решения и ограничения на общую координатную прямую. Отмечаем на ней количество решения на каждом интервале и в отмеченных точках. Записываем обобщенный результат. Очень ответственный шаг, пожалуй, самый сложный в этом задании.

[collapse]
Общие правила

Общие правила

1. Все правила к заданиям 1,4,6,9,11,14.

  • правила к заданию № 1 – жми, учи;
  • правила к заданию № 4 – жми, учи;
  • правила к заданию № 9 – жми, учи;
  • правила к заданию № 14 – жми, учи;

2. Модуль

  • если в задании встретился модуль, то для решения требуется его раскрыть (не просто проигнорировать модульные скобки, а выполнить определенные правила);
  • правила раскрытия модуля:
    • выписываем подмодульное выражение (целиком; без модульных скобок) и приравниваем его к нулю, решаем получившееся уравнение;
    • отмечаем найденные корни на координатной прямой и определяем знаки подмодульного выражения на каждом промежутке;
  • решаем заданное заданное уравнение несколько раз (обязательно):
    • для тех промежутков, где подмодульное выражение положительно; в этом случае модульные скобки в уравнении просто убираются;
    • для тех промежутков, где подмодульное выражение отрицательно, в этом случае модульные скобки убираются, а все знаки внутри модуля меняются на противоположные;
    • для различных сочетаний положительных и отрицательных подмодульных выражений;
    • все найденные решения проверяются на соответствие тем промежуткам, на которых Вы их рассматриваете;
    • не забудьте объединить все найденные решения;
  • если в задании несколько множителей, то
    • приравниваем к нулю каждое подмодульное выражение отдельно;
    • наносим все найденные корни на одну координатную прямую;
    • определяем знаки на всех найденных промежутках;
    • далее решаем заданное уравнение для всех получившихся промежутков;
    • не забываем объединить все найденные решения.

3.Решение систем уравнений. Способы решения:

  • выражаем из одного уравнения одну переменную и подставляем получившееся выражение во второе уравнение;
  • складываем или вычитаем уравнения друг из друга;
  • домножаем уравнения на необходимый множитель, а затем складываем или вычитаем их друг из друга;
  • решить систему – это найти все неизвестные.

4.Стандартный вид окружности (+приведение к стандартному виду):

  • (х-х0)²+(у-у0)²=r², где х00 – координаты центра окружности, r – радиус окружности;
  • вырожденная окружность имеет нулевой радиус, то есть представляет собой точку (этот случай соответствует заданиям про окружность с единственным решением);
  • уравнение окружности обязательно должно быть приведено к стандартному виду, для этого используются формулы квадрата разности или суммы (потренируйтесь в этом преобразовании отдельно от задания № 17, чтобы не утонуть);

[collapse]
Алгоритм и образцы решения заданий с корнями

Алгоритм и образцы решения заданий с корнями

1. Если в задании есть корни, то я сразу выписываю ограничения: подкоренное выражение должно быть больше или равно 0.

2. Если я вижу, что в уравнении вся правая (или левая) часть стоит под корнем, то я возвожу обе части уравнения в квадрат.

3. Если я вижу в задании, что в одной части уравнения есть корень, а в другой нет, то я ввожу ограничения на ту часть, что не содержит корня. Она должна быть больше или равна 0. Запись такого решения оформляю в виде системы: первое неравенство – это ограничение для той части, что не содержит корня; второе уравнение – заданное уравнение, которое уже возвели в квадрат (освободились от корня).


1.


2.


3.


[collapse]
Образцы решения

Образцы решений составлены по заданиям из реальных ЕГЭ 2016-2020 гг. Если Вы сами не смогли решить задачу, то ВЫУЧИТЕ представленное решение, а не просто просмотрите или спишите его.

1. (2020 г.) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  (!!!) имеет ровно два различных решения.

Размышления: оба уравнения содержат две переменные в квадрате, такое сочетание мы встречаем в уравнениях окружности, поэтому попробуем привести оба уравнения к стандартному виду окружности: (х-х0)2+(у-у)0)2=r2, где (х0;у0) – центр окружности; r – радиус окружности.

Записываем в решении: приведем заданные уравнения к стандартному уравнению окружности:

(1) х22-2x-2u=0

2-2x)+(у2-2u)=0

/сформируем квадраты разности/

2-2x•1+1-1)+(у2-2u•1+1-1)=0

2-2x•1+1)-1+(u)2-2u•1+1)-1=0

(х-1)2+(у-1)2-2=0

(х-1)2+(у-1)2=2

Это окружность с центром (1;1) и радиусом √2.

(2) х22-2(1+а)ч-2(1-а)у=-2а2

2-2(1+а)х)+(у2-2(1-а)у)=-2а2

/сформируем квадраты разности/

2-2(1+а)х+(1+а)2-(1+а)2)+(в2-2(1-а)у+(1-а)2-(1-а)2)=-2а2

2-2(1+а)х+(1+а)2)-(1+а)2+(у2-2(1-а)у+(1-а)2)-(1-а)2=-2а2

(х-1-а)2+(у-1-а)2-2-2а2=-2а2

(х-1-а)2+(у-1-а)2=2+2а2-2а2

(х-1-а)2+(u-1+a)2=2

Это окружность с центром (1+а;1-а) и радиусом √2.

Размышления: в задании сказано, что решений должно быть “ровно два различных”. Количество решений зависит от расположения окружностей.

  • Если центры окружностей совпадут, то и окружности совпадут, и решений будет бесконечно много, что нам не подходит. Эта ситуация нам не нужна, поэтому нужно вычислить а, при которых это произойдет, чтобы это значение исключить из ответа. 
  • Если окружности касаются, то между их центрами расстояние равное сумме двух радиусов, тогда имеется одно решение, нам это не подходит. Обязательно нужно найти а, при которых эта ситуация возникает, чтобы исключить из ответа.
  • Если расстояние между окружностями больше суммы их радиусов, то окружности не пересекаются и не касаются. Пересечение возможно, если расстояние меньше суммы радиусов.

Чтобы найти расстояние между центрами, достроим прямоугольный треугольник и воспользуемся теоремой Пифагора. Гипотенуза – это сумма двух радиусов; горизонтальный катет равен разности абсцисс центров окружностей, вертикальный катет – это разность ординат центров окружностей.

Записываем в решение: рассмотрим различные расположения окружностей друг относительно друга:

  • центры окружностей совпадают:

a=0

  • окружности касаются: (√2+√2)2=(1+a-1)2+(1-1+a)2

8=2a2, то есть а=±2.

  • При а от -2 до 2 наши окружности пересекаются, то есть имеется 2 решения, но при а=0 этих решений бесконечно много, поэтому окончательный ответ: (-2;0)∪(0;2)

2. (2020 г.) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Размышления: ужасное уравнение, с обеих сторон есть корни, то есть в квадрат возводить бесполезно, он останется. Везде есть а.  И есть ограничения, обязательно начну в них, а потом буду упрощать. Надо хотя бы одну часть уравнения сделать проще, убрать оттуда а, пусть там будут только числа и х: (записываем в решении)

  • Решим уравнение при условии, что

то есть 1≤а≤5.

Больше упростить не получается, разобьем уравнение на две функции: (записываем)

Пусть

Уравнения содержат две переменные в квадрате, что наводит на мысль о том, что это окружность, приведем этой уравнение к стандартному виду окружности (х-х0)2+(у-у0)2=r2, где (х0;у0) – центр окружности; r – радиус окружности.:

Исследуем первую функцию:

  • оставим корень справа  в одиночестве
  • возведем обе части уравнения в квадрат при условии, что у+3≥0, то есть у≥-3 (то есть это полуокружность, верхняя часть окружности)

2-6х)+(у2+6у)=-17

/приведем скобки к квадрату разности/

2-2•3х+9-9)+(у2+2•3у+9-9)=-17

2-2•3х+9)-9+(у2+2•3у+9)-9=-17

(х-3)2-9+(у+3)2-9=-17

(х-3)2-9+(у+3)2-9=1

Это полуокружность окружность с центром (3;-3) и радиусом 1.

 

Исследуем вторую функцию:

  • оставим корень справа  в одиночестве
  • возведем обе части уравнения в квадрат при условии, что y+a≥0, то есть y≥-a (то есть это полуокружность, верхняя часть окружности)

y2+2ay+a2=1+2ax-a2-x2

(x2-2ах)+(у2+2ay)=1-2a2

(x2-2ах+а22)+(у2+2ay+а22)=1-2a2

(x2-2ах+а2)-а2+(у2+2ay+а2)-а2=1-2a2

(x-а)22+(у+а)22=1-2a2

(x-а)2+(у+а)2=1

Это полуокружность с центром (а;-а) и радиусом 1.

А могут быть и дробными, количество полуокружностей бесконечно, но для понимания их расположения достаточно этих.

Рассмотрим различные расположения полуокружностей:

  • пусть их центры совпадают, тогда и сами полуокружности совпадают, то есть бесконечно много решений – не подходит, значение а, при котором это происходит необходимо исключить из ответа. Условие совпадения центров:

3=а и -3=-а, то есть а=3 (исключить).

  • полуокружности должны иметь общие точки, поэтому два крайних положения второй полуокружности нам уже не подходят, нам необходимы полуокружности с а=2 и 4 и все, что находятся между ними:

То есть а∈[2;3)∪(3;4].

3. (2020 г.) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х4sinα+2x2cosα+sinα=0 имеет ровно 2 различных решения.

Размышления: это биквадратное уравнение, буду вводить замену; здесь две тригонометрические функции-надо упростить, поделю все на sinα: (записываем в решении)

  • х4sinα+2x2cosα+sinα=0 /: sinα, sinα≠0, α≠πn,n∈Z

х4+2x2ctgα+1=0/ замена: t=x2,t >0 (t≠0, так как будет только один корень, а это противоречит условию задачи)

t2+2tctgα+1=0 / D=4ctg2α-4 , так как каждая t для х означает два корня, то нам нужна только одна t, то есть D должен быть равен 0:

4ctg2α-4=0, то есть ctgα=1 и ctgα=-1. Нам нужно убедиться, что t получится положительным, поэтому подставим найденные значения ctgα и найдем t.

При ctgα=1 t=-1 – не подходит; при ctgα=-1 t=1 – удовлетворяет ограничениям, так как даст два различных значения х.

  • Найдем α, при котором ctgα=-1. α=-π/4+πn, n∈Z.

4. (2020 г.) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно 2 различных решения.

Размышления: в знаменателе есть переменные=требуется рассмотреть ограничения; затем нужно найти нули дроби (приравнять числитель к 0) и проверить найденные корни на ограничения и на совпадение (так как нужно два различных корня).

Записываем решение:

  • Решим уравнение при условии, что х2+8х+16-а2≠0.
  • Найдем х, при которых дробь превращается в 0:

22=0, то есть х=а/3 и х=-а/3

  • найдем а, при которых эти корни совпадают /приравняем корни/: а/3=-а/3, то есть а=0. Это решение нам не подходит, так как необходимы 2 различных корня. Его нужно исключить из ответа.
  • проверим найденные корни на соответствие ограничениям /подставим х в ограничения и найдем а:

при х=а/3:

а≠6, а≠-3

при х=-а/3

а≠-6, а≠3

Обобщим найденные решения: а∈(-∞;-6)∪(-6;-3)∪(-3;0) ∪(0;3) ∪(3;6)∪(6;+∞).

5. (2019 г.) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=x-2|x|+|x2-2(a+1)x+a2+2a|

больше -4.

Размышления: первая мысль “Фу, модуль” быстро пролетает мимо, не тратим на нее время! По условию задачи все это выражение должно быть больше -4, так и перепишем его, а еще разместим модули по разные стороны от знака неравенства, чтобы получить два выражения попроще.

Пишем: x-2|x|+|x2-2(a+1)x+a2+2a|>-4

|x2-2(a+1)x+a2+2a|>2|x|-х-4

Левую и правую части неравенства рассмотрим отдельно.

Левая часть – это модуль квадратичной функции, графиком которой является парабола ветвями вверх (так как коэффициент перед x2>0, средняя часть параболы “отзеркалена” вверх относительно оси ОХ (так как есть модуль). Эта парабола перемещается вдоль оси ОХ при а>0 направо, при а<0 налево. Вершина параболы (а+1;1).

Правая часть представляет собой прямую у=х-4 (при х≥0), проходящую через I и III четверти и пересекающую ось ОХ в точке 4, а ОУ в точке -4; при х<0 у=4-3х, проходящую через II  и IV четверти и пересекающую ось ОХ в точке -4/3, а ОУ в точке -4.

Нас интересует такое расположение параболы, чтобы

  • точки ее пересечения с ОХ были между точками пересечения прямых с ОХ,
  • правая ветвь правой параболы была выше прямой у=х-4;
  • левая ветвь левой параболы выше прямой у=-4-3х:

Найдем а, при которых выполняются эти условия:

  • пересечение параболы с ОХ: x2-2(a+1)x+a2+2a=0 

Координата правой точки пересечения параболы с ОХ а+2 должна быть меньше или равна 4, то есть а≤2.

Координата левой точки пересечения параболы с ОХ а должна быть больше или равна -4/3, то есть а≥-4/3.

  • найдем условия размещения параболы выше прямых:
правая ветвь параболы должна быть выше прямой у=х-4

x2-2(a+1)x+a2+2a>x-4

x2-2(a+1)x+a2+2a-х+4>0

/представим квадратное выражение в стандартном виде/

x2-(2a+3)x+a2+2a+4>0

при а≥/7/4.

Точка касания справа должна удовлетворять условию

4a2-24a+32≤0

Найдем а, при которых выражение превращается в 0:

а2-6а+8=0

При а=2 и а=4 выражение обращается в 0. Исследуем его знаки с учетом ограничения:

то есть единственное подходящее всем ограничениям решение а=2

левая ветвь параболы должна быть выше прямой у=-3х-4

x2-2(a+1)x+a2+2a>4-3х

x2-2(a+1)x+a2+2a+3х-4>0

/представим квадратное выражение в стандартном виде/

x2-(2a-1)x+a2+2a+4>0

Точка касания слева должна удовлетворять условию

9(-12a-15)≤25+60a+36a2

36a2+168a+160≥0

Найдем а, при которых выражение превращается в 0:

2+42а+40=0

При а=-10/3 и а=-4/3 выражение обращается в 0. Исследуем его знаки с учетом ограничения:

При а∈[-4/3;-1,25) существует 2 корня, то есть парабола и прямая у=-3х-4 пересекаются, то есть часть параболы находится под прямой, а это противоречит условию задачи. Нас интересует только касание, а это возможно только при а=-1,25 (D=0)

При всех а от -1,25 до 2 парабола находится выше прямых, поэтому ответ: -1,25<а<2.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания


1. Задания с корнями


2. Задания с дробями


3. Задания с модулем


4. Задания с системами





5. Задания с тригонометрией


6. Задания с логарифмами



[collapse]