ЕГЭ-математика-профиль-задание 10

Обучение онлайн!

Задания 10

 – ЕГЭ – профиль-

Вероятность и комбинаторика:

  • базовый уровень сложности;
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут /достаточно 2-х минут/;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 7-9 классах. Если в школе Вам не объяснили решение таких заданий, не отчаивайтесь, просто воспользуйтесь этой страницей.
  • это новое задание .

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1шаг. Обязательно выучить алгоритм.

2 шаг. При решении проговаривать каждый шаг алгоритма полностью, не ленится, не заменять формулировки алгоритма на другие фразы (даже, если Вам кажется, что у них тот же смысл).

3 шаг. Если произносить не получается, то записывайте каждый шаг алгоритма.

4 шаг. Выполняя шаги алгоритма, отвечайте именно на те вопросы, что Вам задаются, не придумывайте свои.

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

Дополнение:

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Чем больше заданий Вы выполните, тем быстрее правила закрепятся в памяти, поэтому практика, практика и еще раз практика.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм

АЛГОРИТМ для всех заданий

1. Четко и кратко сформулируйте чего Вы хотите по условию задания, максимум двумя-тремя словами, не произносите лишних слов, не отвлекайте свой мозг.

2. Распишите подробно все ситуации, которые Вам подходят.

4. Найдите вероятность каждой подходящей ситуации по формуле: хочу/всего.

5. Уточните, Вас устраивает любая из подходящих ситуаций или необходимо, чтобы все они произошли:

  • если любая, то вероятности складываются;
  • если обязательно все должны произойти, то вероятности перемножаются.

[свернуть]
Основные правила

Основные правила

1. Золотая формула: вероятность = хочу/всего. 

2. Трудная формула, но некоторые задачи позволяет решить быстрее, чем обычные рассуждения. 

    \[P=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}, C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

  • С – вероятность;
  • n-количество всех ситуаций;
  • k – количество желаемых ситуаций;
  • p- вероятность желаемых ситуаций;
  • q – вероятность нежелательных ситуаций (1-р).
  • ! – знак факториала, означает, что нужно перемножить все числа от 1 до того числа, которое указано под знаком факториала. например, 5!=1·2·3·4·5=120.
  • Сначала находим С, подставляем найденное значение в первую формулу.

3. Если дана вероятность того, что событие свершиться, а нужна вероятность противоположного события, то нужно из единицы вычесть заданную вероятность.

4. Если в задаче много ситуаций, спокойно рассматриваем все поочередно, не нервничаем!

[свернуть]
Основные типы заданий

Основные типы заданий

  1. Вероятность положительного результата анализа.
  2. Вероятность попадания в цель.
  3. Вероятность попадания в группу.
  4. Вероятность набора определенного количества баллов при бросках кубика.
  5. Вероятность получения результата от определенной ситуации.

[свернуть]
Образцы решения

Образцы решения


Задание 1.

В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Решение:

1. В каждой из групп будет по 26:2=13 мест.

2. Пусть первая девочка уже в какой-то группе.

3. Вероятность, что вторая девочка окажется в той же группе 12/25 (так как одна уже заняла место).

4. Вероятность, что третья девочка попадет туда же 11/24, так как уже 2 места заняты.

5. Все эти события должны произойти обязательно вместе, поэтому вероятности перемножаем: 12/25 •11/24=0,22


Задание 2.

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2,4,6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6. Какова вероятность, что бросали первый кубик?

Решение:

1.Чего хочу? Чтобы выпали 4 и 6 на первом кубике.

2. Найдем вероятность того, что на первом кубике выпадет 4 и 6:

  • мне подойдут ситуации, когда выпадет 4/6 и 6/4;
  • вероятность, что выпадения 4: 1/6, вероятность выпадения 6: 1/6. Эти события должны произойти обязательно оба, поэтому вероятности перемножаем: 1/6*1/6=1/36.
  • Так как подходящих ситуаций две, то вероятность умножаем на 2: 2•1/36=1/18.

3. Вероятность того, что на втором кубике выпадет 6 и 4:

  • мне подойдут ситуации, когда выпадет 4/6 и 6/4;
  • вероятность, что выпадает 6: 2/6=1/3, вероятность, что выпадает 4: 2/6=1/3.  Эти события должны произойти обязательно оба, поэтому вероятности перемножаем: 1/3*1/3=1/9.
  • Так как подходящих ситуаций две (4/6 и 6/4), то найденную вероятность умножаем на 2: 2•1/9=2/9. 

4. Вероятность, что хоть где-нибудь (хоть на каком-нибудь кубике) выпадет сочетание 4 и 6: 1/18+2/9=5/18. Это всего.

5. То есть, хочу, чтобы выпало нужно сочетание на первом кубике, – вероятность 1/18 (пункт 2). Общая вероятность (всего) того, что хоть где-нибудь выпадет подходящее сочетание – 5/18 (пункт 4).

6.Подставляем найденные значения в формулу вероятности: хочу/всего=1/18:5/18=1/5=0,2.

Ответ: 0,2.


Задание 3.

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Ответ: 0,43

 

[свернуть]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Ответ: 1,2
2. Во время игры участник бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит приз. Какова вероятность получить приз? Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,11
3. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,42
4. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Ответ: 0,64
5. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?
Ответ: 5
6. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Ответ: 0,2
7. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
Ответ: 1,05
8. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Ответ: 0,8
9. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Ответ: 0,125

10. Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,25, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 4 выстрелов?

11. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,4. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,35. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

12. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Ответ : 0,25.

13. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один  случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Ответ : 0,8
14. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Ответ : 0,9
15. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Ответ : 0,2
16. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Ответ : 0,1
17. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Ответ : 0,8
18. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Ответ : 0,2
19. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 5 и 6 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Ответ : 0,9

[свернуть]