ЕГЭ-математика-профиль-задание 18

Обучение онлайн!

 

Универсальные подсказки

Универсальные подсказки

1. Если в задании много неизвестных, то обозначаю их переменными (буквами), могу ввести любое количество переменных (но! чем меньше, тем лучше).

2.Обязательно буду подробно описывать свои рассуждения.

3.Метод перебора – абсолютно законный способ решения математических головоломок. Им можно и нужно пользоваться.

4. Если Вы при выполнении задания показываете, что ситуация возможна и приводите пример (подобранный перебором), то этого для обоснованного ответа достаточно.

5.Но, если Вы при выполнении задания показываете, что ситуация невозможна, то приведенные Вами примеры не являются достаточными для обоснованного ответа, в этом случае необходимо обобщающий вывод, демонстрирующий, что Ваши рассуждения применимы и на все остальные ситуации.

6.Не пытайтесь решить это задание “слету”, разложите его на маленькие этапы (ситуации) и спокойно анализируйте каждый из них.

7.Задания в пунктах а и б Вы точно сможете выполнить, даже если не очень сильны в остальных номерах, тут требуется больше логики, сообразительности и смелости. 

8.Начинайте анализ или с самых маленьких подходящих значений или с самых больших. Перебирайте числа последовательно, не перепрыгивая, иначе можете потерять правильный результат. Делайте логические выводы только когда накопится достаточно подтверждающих результатов (двух недостаточно).

9.Арифметическая последовательность – последовательные числа отличаются друг от друга НА некоторое значение.

10.Геометрическая последовательность – числа отличаются друг от друга В некоторое количество раз.

11. Признаки делимости:

  • число делится на 2, если последняя цифра 0,2,4,6,8; такие числа называются четными; числа, которые не делятся на 2, называются нечетными;
  • число делится н 3 или 9, если сумма его цифр делится на 3 или 9;
  • число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5;
  • число делится на 4, если две последние цифры образуют число, которое делится на 4;
  • число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах;
  • число делится на 11, если разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, кратна 11;
  • кратно – то есть делится;
  • делитель – то есть на него делится нацело (без остатка, без дробной части).

[collapse]
Образцы решений-рассуждений

Образцы решений-рассуждений

Задание 1

Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Решение

1.Анализируем условие, выписываем из него основное:

  • Вася каждый день решает на 1 одну задачу больше, чем в предыдущий день (всю задачу);
  • Петя решает на 2 задачи больше, чем в предыдущий день (всю задачу).
  • В первый день каждый мальчик решил как минимум одну задачу.

а) Пусть Вася решил в первый день х задач, тогда Петя решил х+1. Петя решал задачи 5 дней, так как Вася решает с меньшей скоростью, то ему потребуется больше 5 дней, например 6 (или более). Оба мальчика должны решить одинаковое количество задач:

дни 1 2 3 4 5 6 всего
Вася х х+1 х+2 х+3 х+4 х+5 6х+15
Петя х+1 х+3 х+5 х+7 х+9 5х+25

6х+15=5х+25, то есть х=10.

Ответ: возможно, если Вася в первый день решит 10 задач, а Петя 11.

Примечание: если бы результат за 6 дней не подошел, нужно было бы продолжить таблицу для 7, 8 и т.д. дней. (нет, это не до бесконечности)

б) Пусть Вася решил в первый день х задач, тогда Петя решил х-1. Петя решал задачи 4 дней. Оба мальчика должны решить одинаковое количество задач:

дни 1 2 3 4 всего
Вася х х+1 х+2 х+3 4х+6
Петя х-1 х+1 х+3 х+5 4х+10

За четыре дня Петя решит: 4х+10 задач. 

Проверим за какой промежуток времени Вася решит столько же. 

  • за 4 дня Вася решит 4х+6. Найдем х, при которых это равно это 4х+10: 4х+10=4х+6, то есть 0=-4 – нет решений.
  • за 5 дней Вася решит 5х+10. Найдем х, при которых это равно это 4х+10: 5х+10=4х+10, то есть х=0 – противоречит условию задачи (в первый день решили хотя бы одну задачу).
  • за 6 дней Вася решит 6х+15. Найдем х, при которых это равно это 4х+10: 6х+15=4х+10, то есть х=-2,5 -нет решений. Вася уже прочитал больше, чем Петя, с каждым днем эта разница будет увеличиваться.

Ответ: нет, нельзя.

в) Нужно рассмотреть два случая: если в первый день Вася решил на одну задачу больше, а второй – Петя.

1 случай: пусть в первый день Вася решит на одну задачу больше, чем Петя, тогда

дни 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вася х+1 х+2 х+3 х+4 х+5 х+6 х+7 х+8 х+9
Петя х х+2 х+4 х+6 х+8 х+10 х+12 х+14 х+16

 

количество дней за 1 день за два дня за три дня за четыре дня за пять дней за шесть дней за семь дней за восемь дней за девять дней
Вася х+1 2х+3 3х+6 4х+10 5х+15 6х+21 7х+28 8х+36 9х+45
Петя х 2х+2 3х+6 4х+12 5х+20 6х+30 7х+42 8х+56 9х+72

По условию, дней должно быть не менее 6, то есть минимум 7.

За 7 дней Петя решит 7х+42 задачи. Это будет наименьшим возможным для условия количеством задач. Найдем день, когда Вася решит столько же.

  • 8 день: 7х+42=8х+36, при х=6. То есть, если Петя решит в первый день 6 задач, то Вася за 8 дней решит столько же задач, сколько Петя за 7. Тогда в сборнике будет 84 задачи. Пока мы не можем сказать, что это наименьшее возможное количество задач в сборнике.

Общее количество решенных задач будет меньше, если в первый день Петя решил меньше 6 задач.  Составим таблицу возможных значений:

Пусть в первый день решено х=1 задача.

количество дней за семь дней за восемь дней за девять дней за десять дней за одиннадцать дней
Вася 35 44 54 65 77
Петя 49 64 81 100

Нет чисел совпадающих у мальчиков (общее количество решенных задач должно быть одинаково). Более 84 проверять смысла нет.

х=2

количество дней за семь дней за восемь дней за девять дней за десять дней
Вася 42 52 63 75
Петя 56 72 90 110

х=3

количество дней за семь дней за восемь дней за девять дней
Вася 49 60 72
Петя 70

х=4,5 также не дадут подходящих результатов.

То есть минимальное количество задач – 84.

2 случай: Пусть в первый день Петя решит на одну задачу больше, чем Вася:

дни 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вася х х+1 х+2 х+3 х+4 х+5 х+6 х+7 х+8
Петя х+1 х+3 х+5 х+7 х+9 х+11 х+13 х+15 х+17

 

количество дней за 1 день за два дня за три дня за четыре дня за пять дней за шесть дней за семь дней за восемь дней за девять дней за десять дней
Вася х 2х+1 3х+3 4х+6 5х+10 6х+15 7х+21 8х+28 9х+36 10х+45
Петя х+1 2х+4 3х+9 4х+16 5х+25 6х+36 7х+49 8х+64 9х+81  

По условию, дней должно быть не менее 6, то есть минимум 7. Нас интересуют только ситуации, когда сумма задач будет меньше 84. Петя решает задачи быстрее.

  • за 7 дней Петя решит 7х+49 задач, нас интересует результат 7х+49≤84, то есть х≤5;
    • при х=1 Петя решит 56 задачи, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
    • при х=2 Петя решит 59 задач, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
    • при х=3 Петя решит 70 задач, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
    • при х=4 Петя решит 77 задачи, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
    • при х=5 Петя решит 84 задач, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
      • нет подходящих вариантов;
  • за 8 дней Петя решит 8х+64, нас интересует результат 8х+64≤84, то есть х≤2;
    • при х=1 Петя решит 72 задачи, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
    • при х=2 Петя решит 80 задач, Вася такое количество задач не сможет прорешать ни в какой из дней (подставляем и считаем);
      • нет подходящих вариантов;
  • за 9 дней Петя решит 9х+81, нас интересует результат 9х+81≤84, то есть нет допустимых х;
      • нет подходящих вариантов.

Дальнейшее рассмотрение бессмысленно, так как результат заведомо больше 84.

Ответ: а) да; б) нет; в) 84.

Задание 6

Последовательность натуральных чисел (an) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность (an) содержать ровно 5 различных чисел?
б) Чему может равняться a1 если a100 = 75?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (an)?

Анализируем условие, выписываем из него основное:

  • числа натуральные!=только положительные целые, ноль нельзя!
  • аn=an-1-98 или an=an-1•2

а) чтобы было только 5 различных чисел, шестое число должно быть равно первому. Пусть первое число х, тогда последовательность может выглядеть так

  • х, 2х, 4х,  8х, 16х, 32х и т.д. Проверим, может ли в такой последовательности шестой член равняться первому: 32х=х при х=0, а 0 не является натуральным числом. Последовательность не удовлетворяет условию задачи.
  • Предположим, что последовательность будет такой х, х-98, х-98-98, х-98-98-98, х-98-98-98-98, х-98-98-98-98-98. В эту последовательность входят постоянно уменьшающие числа, зацикливания нет. Не подходит.
  • Предположим, что последовательность будет такой х, 2х, 4х, 8х, 8х-98, 8х-98-98. Проверим, может ли в такой последовательности шестой член равняться первому: 7х-196=х при х=28. 28- натуральное число, такая последовательность подходит.

Ответ: да, может, например, 28; 56; 112; 224; 126; 28 и т.д.

б) Если a100 = 75, то a99 (предыдущее число) должно быть или в 2 раза меньше или на 98 больше. Так как 75 нечетное число, то предыдущее не может быть в 2 раза меньше, так оно тогда не будет натуральным. Следовательно, a99 =173.

173 также нечетное, поэтому a98=271, то есть все предыдущие члены будут на 98 больше, все члены последовательности будут нечетными, это будет арифметическая прогрессия с разностью -98. Воспользуемся формулой n-члена арифметической прогрессии: аn1+d(n-1) 

75=а1-98(100-1), а1=9777.

в)

  1. предположим, что наибольший член последовательности 400-ый, это возможно, если каждый последующий в 2 раза больше предыдущего – это геометрическая прогрессия с основанием 2, последний член которой находится по формуле bn=b1•qn-1, то есть b400=1•2400-1, b400=2399 – очень большое число;
  2. предположим, что наибольший член первый, это возможно, если каждый последующий член на 98 меньше предыдущего, тогда это арифметическая последовательность с разностью -98. Наименьшее возможное значение четырехсотого члена будет 1, аn1+d(n-1), 1=а1-98(400-1), а1=99103. Это уже меньшее число, чем в предыдущем случае.
  3. предположим, что последующие члены попеременно больше в 2 раза или меньше на 98 предыдущих, возможны разные случаи, но если последовательность будет состоять из повторяющихся групп числе, то мы сможем значительно уменьшить значение максимального члена. Один из вариантов такой последовательности мы рассматривали в пункте а. Там в каждой группе последовательности было по 5 числе, a1=28; наибольший член 126. Проверим может ли наибольший член менее 126.

1. Рассмотрим нечетные числа меньшие 126. Обязательно должны выполняться условия: эти числа должны быть максимальными в последовательности, последовательности должны состоять из повторяющихся групп чисел, последующие члены должны в 2 раза больше или на 98 меньше. /первую последовательность распишем подробно/

  • пусть наибольший член 125, тогда

чтобы получить предыдущий член, 125:2=не натуральное число (нельзя) или 125+98=больше 125 (нельзя). То есть предыдущего числа нет;

следующее число за 125 можно получить 125•2=бОльшее число (нельзя) или 125-98=27 (можно);

следующее число за 27 можно получить одним способом 27•2=54 (можно);

следующее число за 54 можно получить одним способом 54•2=108 (можно);

следующее число за 108 можно получить 108-98=10 (можно) или 108•2=216 (нельзя); и т.д.

Но у нас не получится составить последовательность из повторяющихся чисел не превосходящих 125.

125, 27, 54,108, 10,20,40,80,160 – не удовлетворяет;

Таким же образом проверяем остальные случаи. Долго? Да, но легко.

  • наибольший член 123: 123, 25,50,100,2,4,8,16,32,64,128 – не удовлетворяет;
  • наибольший член 121: 121,23,46,92,184 – не удовлетворяет;
  • наибольший член 119: 119,21,42,84,168 – не удовлетворяет;
  • наибольший член 117: 117,19,38,76,152 – не удовлетворяет;
  • 115,17,34,68,136 – не удовлетворяет;
  • 113,15,30,60,120 – не удовлетворяет;
  • 111,13,26,52,104,6,12,24,48,96,192 – не удовлетворяет;
  • 109,11,22,44,88,176 – не удовлетворяет;
  • 107,9,18,36,72,144 – не удовлетворяет;
  • 105,7,14,28,56,112 – не удовлетворяет;
  • 103,5,10… уже рассмотрено;
  • 101,3,6 уже рассмотрено;
  • 99,1,2,4 уже рассмотрено;
  • оставшиеся нечетные числа предполагают только умножение на 2, а значит не могу быть наибольшими в последовательности.

2. Рассмотрим четные числа, меньшие 126 с теми же условиями

  • 57,114,16,32,64, 124,26,52 уже рассмотрено;
  • 61, 122, 24 – уже рассмотрено;
  • 57, 114, 15,30,60,120,22 – уже рассмотрено;
  • 59, 118, 20 уже рассмотрено
  • 111, 13, 26, 52, 116, 18,36 уже рассмотрено
  • 57, 114, 16 уже рассмотрено;
  • 56, 112, 14, 28,56 удовлетворяет условиям;
  • 55, 110, 12,24,36,72 – не удовлетворяет;
  • 27,54,108,10,…- не удовлетворяет;
  • 54,106,8,16…- не удовлетворяет;
  • 13, 26, 52,104,6,12…- не удовлетворяет;
  • 51,102, 4,…- не удовлетворяет;
  • 100, 2,4 – не удовлетворяет;
  • 98, 0 – не удовлетворяет;

Ответ: может, например, 112.

[collapse]
Задания из прошлогодних ЕГЭ

Задания № 18 (из прошлогодних ЕГЭ)

2020-2021 гг.

  1. Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
    • а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?
    • б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?
    • в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число — трехзначное, а последнее равно 2?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 97.
  2. Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
    • а) Может ли выполняться равенство A · S = 28000?
    • б) Может ли выполняться равенство A · S = 2971?
    • в) Найдите наибольшее произведение A · S < 5997.
      • Ответ:  а) нет, б) нет, в) 5992.
  3. Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.
    • а) Может ли получиться 13?
    • б) Может ли получиться 6?
    • в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 6?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 70.
  4. Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
    • а) Может ли это отношение быть равным 11?
    • б) Может ли это отношение быть равным 5?
    • в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 80.
  5. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
    • а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?
    • б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?
    • в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 972.
2019-2020 гг.
  1. На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:  1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
    • а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?
    • б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?
    • в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
  2. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
    • а) Может ли сумма составлять 282?
    • б) Может ли их сумма составлять 390?
    • в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
  3. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
    • а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
    • б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
    • в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.
  4. В наборе 100 гирек весом 1,2, …, 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.
    • а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?
    • б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?
    • в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?
      • Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.
  5. Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.
    • а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
    • б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?
    • в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.
      • Ответ: а) нет, б) да, в) 106.
  6. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
    • а) Может ли n быть больше 5?
    • б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
    • в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
      • Ответ: а) да, б) да, в) 48.
  7. По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
    • а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
    • б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
    • в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
      • Ответ: а) да; б) нет; в) да.
  8. На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.
    • а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?
    • б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?
    • в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 6.

2018-2019 гг.

  1. Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
    а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
    б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
    в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
    Ответ: а) да, б) нет, в) 14.
  2. Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.
    а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
    б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?
    в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
    Ответ: а) да; б) да; в) 72.
  3. Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
    а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
    б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
    в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?
    Ответ: а) да; б) нет; в) 72.
  4. Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
    а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?
    б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?
    в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?
    Ответ: а) нет; б) да; в) 99%.
  5. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
    • а) Может ли быть 10 синих карточек?
    • б) Может ли быть 10 красных карточек?
    • в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
      • Ответ: а) да, б) нет, в) 35.
  6. В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
    • а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
    • б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
    • в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
      • Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 449.
  7. В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.
    а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
    б) Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
    в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
    Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 229.
  8. В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
    а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
    б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
    в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
    Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 387 г.
  9. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
    • а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли быть больше 7?
    • б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?
    • в) Известно, что n=4. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
      • Ответ: а) Нет; б) Да; в) 14
  10. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
    а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
    б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
    в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
    Ответ: а) нет; б) да; в) 33.
  11. Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
    • а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
    • б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
    • в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
      • Ответ: а) Да; б) Нет; в) 18.
  12. Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел a1, a2,…,an равно

        \[\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ..a_{n}}\]

    .

      1. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — различные целые числа.
    1. а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
    2. б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
    3. в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
      • Ответ: а) нет; б) да; в) 4.
  13.  Квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет два различных натуральных корня.
    • а) Пусть q=55. Найдите все возможные значения p.
    • б) Пусть p+q=30. Найдите все возможные значения q.
    • в) Пусть q2-p2=2108. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
      • Ответ: а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.
  14. Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
    а) Пусть q = 34 Найдите все возможные значения p.
    б) Пусть p + q = 22 Найдите все возможные значения q.
    в) Пусть q2 – p2 = 2812. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
    Ответ: а) −35, −19; б) 48; в) 4 и 14.
  15. Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1×1×3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
    1. Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
    2. Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
    3. Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
      1. Ответ: а) нет; б) да; в) 96.
  16. Последовательность (an) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.
    1. Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?
    2. Чему может быть равно а100, если a1 = 89?
    3. Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?
      1. Ответ: а) да; б) 8999; в) 96.

 

2017-2018 гг.
  1. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
    • а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
    • б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
    • в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S-B.
      • Ответ: а) нет, б) нет, в) 24/11.
  2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
    • а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?
    • б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?
    • в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
      • Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.
  3. Задание:
    • а) Представьте число 33/100 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
    • б) Представьте число 15/91 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
    • в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m≤n и 1/m+1/n=1/14.
      • Ответ: а) Да, 33/100=1/5+1/10+1/100; б) Да, 15/91=1/13+1/14+1/91+1/182 в) 28/28, 21/42, 16/112, 15/210, 18/63.
  4. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
    • а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?
    • б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
    • в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
      • Ответ: а) нет; б) 7; в) 49 000.
  5.  Задание:
    • а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
    • б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
    • в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
      • Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

[collapse]