ЕГЭ-математика-профиль-задание 11

Обучение онлайн!

Задание № 11

-ЕГЭ-профиль-

Исследование функции с помощью производной

  • базовый уровень сложности;
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить – 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые правила изучаются в 10-11 классах.

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1шаг. Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

2 шаг. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

3 шаг. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Чем больше уравнений Вы прорешаете, тем быстрее правила закрепятся в памяти, поэтому практика, практика и еще раз практика.

Можно ли пользоваться хитростями? Да, в этом задании их очень много, они позволяют выполнить этот номер устно и быстро. Но! Для этого нужно быть очень внимательным, чтобы использовать эти приемы в нужном месте. Не перехитрите сами себя!

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм

Алгоритм

1.Найти производную (необходимо знание формул).

2.Приравниваем производную к нулю. Решаем получившееся уравнение.

3.Строим координатную прямую, отмечаем на ней найденные корни.

4.Определяем знаки каждого промежутка (это знаки производной)

  • выбираем из промежутка число;
  • подставляем это число в производную,;
  • вычисляем, нам нужен знак, отмечаем его на соответствующем промежутке координатной прямой;

5.Там, где производная имеет знак “+”, функция возрастает – ставим стрелочку вверх; там, где производная имеет знак “-“, функция убывает – ставим стрелочку вниз.

6.Точка, в которой “+” поменялся на “-“, называется точкой максимума; точка, в которой “-” поменялся на “+” , называется точкой минимума.

7.Перечитываем задание:

  • если требуется найти точку максимума, минимума, экстремума, то для ответа выбираем результат из п.6;
  • если требуется найти значение функции в точке максимума, минимума, экстремума, то результат из п.6 подставляем в заданную функцию, получившееся значение будет ответом;

8.Если в п.2 не удалось найти решения, то в заданную функцию подставляем значения концов заданного отрезка.

[collapse]
Общие правила

Общие правила

[collapse]
Образцы решения заданий со степенной и показательной функциями

Образцы решения заданий со степенной и показательной функциями

1. Найдите точку максимума функции у=х3-75х+18.

  • нахожу производную: у’=3x²-75;
  • приравниваю производную к 0: 3х²-75=0, то есть х=±5;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точки -5 и 5;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (-∞;-5) – знак “+”;
    • (-5;5) – знак “-“;
    • (5;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (-∞;-5) – стрелка вверх, функция возрастает;
    • (-5;5) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (5;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • -5 – точка максимума (“+” сменился на “-“; возрастание сменилось на убывание);
    • 5 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание).
  • уточняю вопрос: найти точку максимума – ответ -5.

Ответ: -5.

2.Найдите наименьшее значение функции у=х3/3-9х-12.

  • нахожу производную: у’=x²-9;
  • приравниваю производную к 0: х²-9=0, то есть х=±3;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точки -3 и 3;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (-∞;-3) – знак “+”;
    • (-3;3) – знак “-“;
    • (3;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (-∞;-3) – стрелка вверх, функция возрастает;
    • (-3;3) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (3;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • -3 – точка максимума (“+” сменился на “-“; возрастание сменилось на убывание);
    • 3 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание).
  • уточняю вопрос: найти наименьшее значение функции, то есть нужно точку минимума подставить в заданную функцию:
    • 33/3-9•3-12=-30.

Ответ: -30.

3.Найдите точку минимума  на отрезке [1;9]

    \[y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+5\]

  • нахожу производную: у’=√x-3; (обращаю внимание на ограничения: х≥0)
  • приравниваю производную к 0: √х-3=0, то есть х=9;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точку 9;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (0;9) – знак “-“;
    • (9;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (0;9) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (9;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • 9 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание).
  • уточняю вопрос: найти точку минимума, это 9

Ответ: 9.

4.Найдите наименьшее значение функции у=х√х-9х+3 на отрезке [18;49].

  • упрощу выражение: у=х3/2-9х+3;
  • нахожу производную: у’=3/2√x-9; (обращаю внимание на ограничения: х≥0)
  • приравниваю производную к 0:3/2 √х-9=0, то есть х=36;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точку 36;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (0;36) – знак “-“;
    • (36;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (0;36) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (36;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • 36 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание).
  • уточняю вопрос: найти наименьшее значение функции, то есть подставляю точку минимума, это 9, в заданную функцию:
    • у=36·√36-9·36+3=-105.

Ответ: -105.

4.Найдите наименьшее значение функции у=е-6ех+3  на отрезке [1;2].

  • нахожу производную: у’=2е2x-6ех;
  • упрощаю выражение:  у’=еx(2ех-6)
  • приравниваю производную к 0, произведение равно 0, если один из множителей равен 0, то есть
    • или ех=0 (нет решений, так как нет такой степени, которая превращает число в 0);
    • или 2ех-6=0, то есть ех=3;
    • х=ln3 – принадлежит заданному промежутку;
  • уточняю вопрос: найти наименьшее значение функции, то есть подставляю точку минимума, это ln3, в заданную функцию; в данном задании возможна хитрость: можно сразу подставлять вместо ех 3: у=9-6·3+3=-6.

Ответ: -6.

5.Найдите точку минимума функции у=7х²+2х+3.

  • степень представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх;
  • минимальное значение такая функция принимает в вершине;
  • найдем х-вершину: -2/2=-1

Ответ: -1.

6.Найдите наибольшее значение функции

    \[y=\sqrt{5-4x-x^{2}}\]

.

  • подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вниз;
  • максимальное значение такая функция принимает в вершине;
  • найдем х-вершину: х=4/-2=-2, найдем у вершину: у=3

Ответ: 3.

[collapse]
Образцы решения заданий с нахождением производной от частного и произведения

Образцы решения заданий с дробями

1. Найдите точку максимума функции 

    \[ y=-\frac{x^{2}+144}{x}\]

.

  • упрощу выражение:

        \[ y=\frac{-x^{2}-144}{x}\]

  • нахожу производную:

        \[y'=\frac{-x^{2}+144}{x^{2}}\]

  • х не равен 0 (знаменатель не равен 0), в точке 0 смены знака не происходит, так как степень четная.
  • приравниваю числитель к 0 (знаменатель не может быть равен 0): -х²+144=0, то есть х=±12;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точки-12 и 12;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (-∞;-12) – знак “-“;
    • (-12;12) – знак “+”;
    • (12;+∞) – знак “-“.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (-∞;-12) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (-12;12) – стрелка вверх, функция возрастает;
    • (12;+∞) – стрелка вниз, функция убывает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • -12 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание);
    • 12 – точка максимума (“+” сменился на “-“, возрастание сменилось на убывание).
  • уточняю вопрос: найти точку максимума, то есть 12.

Ответ: 12.

Образцы решения заданий с нахождением производных от произведения

1.Найдите наименьшее значение функции у=(х-8)ех-7  на отрезке [6;8].

  • решаем с помощью хитрости:
    • чтобы в ответе получилось число, которое мы сможем записать в бланк ответа, е со степенью должно пропасть, это возможно, если степень е будет 0, тогда ех-7=1;
    • х-7=0, если х=7;
    • 7 входит в заданный отрезок, то есть в качестве решения подходит;
    • подставляем 7 в заданную функцию: у=(7-8)·1=-1

Ответ: -1.

2. Найдите точку максимума функции у=(х²-10х+10)е5-х.

  • нахожу производную: у’=(2x-10)e5-x-(х²-10х+10)е5-х
  • упрощаю выражение: y’=e5-x(2х-10-х²+10х-10)=e5-x(12х-х²-20)
  • приравниваю производную к нулю, произведение равно нулю, если один из множителей равен 0, поэтому
    • или e5-x =0 нет решений (нет такой степени, которая превращает число в 0);
    • 12х-х²-20=0, то есть х=2 и х=10;
  • строю координатную прямую, отмечаю на ней точки 2 и 10;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (-∞;2) – знак “-“;
    • (2;10) – знак “+”;
    • (10;+∞) – знак “-“.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
    • (-∞;2) – стрелка вниз, функция убывает;
    • (2;10) – стрелка вверх, функция возрастает;
    • (10;+∞) – стрелка вниз, функция убывает.
  • определяю точки максимума и минимума:
    • 2 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание);
    • 10 – точка максимума (“+” сменился на “-“, возрастание сменилось на убывание).
  • уточняю вопрос: найти точку максимума, то есть 10.

Ответ: 10.

3.Найдите наименьшее значение функции у=(х+3)²(х+5)-1 на отрезке [-4;-1].

  • упрощаю выражение (раскрою все скобки, чтобы можно было найти производную по частям): у=х³+11х²+39х+44;
  • нахожу производную: у’=3x²+22x+39;
  • приравниваю ее к нулю: 3x²+22x+39=0, то есть х=-13/3 и х=-3;
  • определяю знаки на промежутках:
    • (-∞;-13/3) – знак “+”;
    • (-13/3;-3) – знак “-“;
    • (-3;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
      • (-∞;-13/3) – стрелка вверх, функция возрастает;
      • (-13/3;-3) – стрелка вниз, функция убывает;
      • (-3;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
      • -13/3 – точка максимума (“+” сменился на “-“, возрастание сменилось на убывание);
      • -3 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание);
      • -3 входит в заданный отрезок.
  • уточняю вопрос: найти наименьшее значение функции, то есть подставляю -3 в заданную функцию: у=-1.

Ответ: -1.

 

[collapse]
Образцы решения заданий с логарифмами

Образцы решения заданий с логарифмами

1.Найдите точку максимума функции у=2х²-25х+39lnx-54.

  • нахожу производную: у’=4x-25+39/x=(4x²-25x+39)/x, при условии, что х≠0;
  • приравниваю числитель к нулю: 4x²-25x+39=0, то есть х=13/3 и х=3;
  • определяю знаки на промежутках (с учетом смены знака в знаменателе):
    • (-∞;0) – знак “-“;
    • (0;3) – знак “+”;
    • (3;13/3) – знак “-“;
    • (13/3;+∞) – знак “+”.
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
      • (-∞;0) – стрелка вниз, функция убывает;
      • (0;3) – стрелка вверх, функция возрастает;
      • (3;13/3) – стрелка вниз, функция убывает;
      • (13/3;+∞) – стрелка вверх, функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
      • 13/3 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание);
      • 3 – точка максимума (“+” сменился на “-“, возрастание сменилось на убывание);
      • х не может быть равен 0;
  • уточняю вопрос: найти точку максимума, то есть х=3.

Ответ: 3.

2.Найдите точку максимума функции у=2ln(x+4)³-8x-19.

  • нахожу производную: у’=6(x+4)²/(x+4)³-8=6/(x+4)-8=(-26-8x)/(x+4); (при условии, что х≠-4)
  • приравниваю числитель к нулю (знаменатель не может быть равен 0): -26-8х=0, то есть х=-13/4=-3,25;
  • так как точка найдена всего одна, и нет заданного отрезка, сразу уточняю вопрос: найти точку максимума, то есть х=03,25.

Ответ: -3,25.

[collapse]
Образцы решения заданий с тригонометрическими функциями

1.Найдите наибольшее значение функции у=cosx+3√3x-2√3π+6 на отрезке [0;π/2].

  • нахожу производную: у’=-sinx+3√3
  • приравниваю производную к нулю: -sinx+3√3=0, то есть решений нет (синус не может быть более 1);
  • подставляю в заданную функцию концы заданного отрезка:
    • у=cos0+6√3·0-3√3π+6=7-3√3π;
    • у=cosπ/2+6√3·π/2-3√3π+6=6;
    • нужно найти наибольшее значение, это 6.

Ответ: 6.

2.Найдите наименьшее значение функции у=2tgx-4x+π-3 на отрезке [-π/3;π/3].

  • нахожу производную: у’=2/cos²x-4
  • приравниваю производную к нулю: 2/cos²x-4=0, то есть х=±π/4 (попадают в заданный промежуток);
  • определяю знаки на промежутках (с учетом смены знака в знаменателе):
    • (-π/3;-π/4) – знак “+”;
    • (-π/4;+π/4) – знак “-“;
    • (π/4;π/3) – знак “+”;
  • определяю поведение функции на этих промежутках:
      • (-π/3;-π/4) – функция возрастает;
      • (-π/4;+π/4) – функция убывает;
      • (π/4;π/3) – функция возрастает.
  • определяю точки максимума и минимума:
      • -π/4 – точка максимума (“+” сменился на “-“, возрастание сменилось на убывание);
      • π/4 – точка минимума (“-” сменился на “+”, убывание сменилось на возрастание);
  • уточняю вопрос: найти наименьшее значение функции, подставляю π/4, у=-1.

Ответ: -1.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

  1. Найдите точку максимума функции
    1. у=х3+4х2+4х+7
    2. у=(х-4)2(х+5)+8
    3. у=(х+5)2е2-х
    4. y=-x/(x²+225)
    5. y=(2x-3)cosx-2sinx+5 на отрезке (0;π/2)
    6. y=\sqrt{4-4x-x^{2}}
    7. y=116x-x²
  2. Найдите точку минимума функции
    1. у=х3/2-21х+11
    2. у=(х+13)2(х-2)-9
    3. у=(х2-6х+6)ех-9
    4. y=-(x²+16)/x
    5. y=x\sqrt{x}-3x+1
    6. y=\sqrt{x^{2}-6x+11}
    7. y=7x²+2x+3
  3. Найдите наибольшее значение функции
    1. у=11+48х-х3 на отрезке [-4;4]
    2. у=5+6х-х√х на отрезке [14;23]
    3. у=(х+9)2(х-5)+8 на отрезке [-14;-8]
    4. у=(2х-6)е13-4х на отрезке [2;14]
    5. y=(x²+121)/x на отрезке -[20;-1]
    6. y=3x-ln(x+3)5-5х на отрезке [−4,5; 0]
    7. у= 8ln(x+7)-8х+3 на отрезке [−6,5; 0]
    8. y=12cosx+6x√3-2π√3+6 на отрезке [0;π/2]
    9. e=3tgx-3x+5 на отрезке [-π/4;0]
    10. y=-2tgx+4x-π-3 на отрезке [-π/3;π/3]
  4. Найдите наименьшее значение функции
    1. у=21х23+5
    2. у=х√х-9х+23 на отрезке [1;49]
    3. у=(х-8)²(х-2)-3 на отрезке [5;17]
    4. y=(x²-39x+39)e2-x на отрезке [0;6]
    5. y=(x²+484)/x на отрезке [2;33]
    6. y= дробь, числитель — {{x} в степени 2 } плюс 25, знаменатель — x  на отрезке [1;10]
    7. y=3x-ln(x+3)³ на отрезке [−2,5; 0]
    8. у= 4х-4ln(x+7)+6 на отрезке [−6,5; 0]
    9. e=3+5π/4-5x-5√2cosx на отрезке [0;π/2]

[collapse]