Задание 10
— ЕГЭ — база-
Задание № 10. Задачи по планиметрии.
- базовый уровень сложности;
- рекомендуемое время выполнения — 5 минут;
- за верное решение можно получить 1 балл;
- решение не проверяется, на апелляцию не подается;
- все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.
Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!
2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!
3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. «По памяти» — не подглядывая, ни на секунду, ни «одним глазком», ни «чтобы просто убедиться». При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.
4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.
Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители !
Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то
-
попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.
-
не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы — это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;
-
попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.
Дополнение:
Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.
Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.
Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.
Алгоритм
1. Чертеж Вам уже дан (если не дан, то чертите), покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.
-
- Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: «Я и так умный, мне не надо» — не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.
2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными.
-
- Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.
3. Подберите фигуру (или элемент фигуры), о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.
4. Если на вопрос ответ пока не получен, то кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.
-
- Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
- Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. «Не лейте воду!» Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами «ну, эта штука». Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.
5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения
- в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
- в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
- в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
- в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.
6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.
7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.
8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!
Правила
— учим —
-не читаем! не смотрим! учим!-
- Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.
Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).
1. Чтобы найти длину забора, нужно сложить все стороны ЛЮБОЙ фигуры. Длина дома, горы, моря, калитки, ворот и т.д. в сумму сторон не входит, там забор не ставим.
2. Периметр — это сумма длин ВСЕХ сторон ЛЮБОЙ фигуры. Найти периметр и длину забора — это одно и то же задание.
3. Чтобы найти площадь оставшуюся внутри большой фигуры (выкопали пруд, отгородили под гараж, построили дом на участке), нужно
- найти площадь всей большой фигуры;
- найти площадь маленькой части;
- вычесть из площади большой фигуры площадь маленькой части.
4. Чтобы найти НА сколько отличается одно значение от другого, нужно из большего значения вычесть меньшее.
5. Чтобы найти ВО сколько раз отличается одно значение от другого, нужно большее значение разделить на меньшее.
6. Если нужно найти линию, проходящую через середину фигуры, то ищите ее по правилу средней линии:
- в треугольнике средняя линия равна половине основания: а:2;
- в трапеции средняя линия равна половине суммы оснований: (а+в):2.
7. Вся окружность составляет 360°.
8. Если окружность разбили на части спицами, то угол между ближайшими спицами равен 360º : количество спиц.
10. Если нужно найти угол между стрелками на циферблате, то запоминаем, что
- один час = 30º (угол между любыми ближайшими часами);
- одна минута = 6º (угол между любыми ближайшими минутами).
11. Чтобы найти угол между стрелками можно
- умножить количество часов между стрелками на 30º;
- умножить количество минут между стрелками на 6º.
12. Все единицы измерения длин, площадей в задаче должны быть одинаковыми. Не забудьте о переводе единиц измерения.
- 1 см = 0,01 м.
13. Если пол нужно уложить плиткой и узнать количество плиточек, то
- находим площадь всего пола;
- находим площадь одной плиточки;
- делим площадь всего пола на площадь одной плиточки;
- единицы измерения должны быть одинаковыми!
14. Если в задаче Вы видите, что один треугольничек входит в другой, то скорее всего в задаче пойдет речь о подобии треугольников:
- обозначаем неизвестную сторону за Х;
- находим пары соответствующих сторон;
- выбираем пару, в которой известны обе стороны;
- делим большую сторону на меньшую — это коэффициент подобия;
- выбираем пару сторон с Х, составляем уравнение:
- Х : соответствующую сторону = коэффициенту подобия (если Х входит в бОльший треугольник);
- соответствующая сторона : Х = коэффициенту подобия (если Х входит в меньший треугольник);
- решаем уравнение.
15. Любую большую фигуру можно разбить на несколько маленьких.
16. Очень полезно на чертеже найти прямоугольный треугольник, тогда с помощью теоремы Пифагора Вы решите массу проблем:
- гипотенуза²=катет²+катет².
Тренировочные задания
1. Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 400 м и 300 м. Одна из бóльших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно отгородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
2. Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 15 м на 20 м с общей границей, договорились и сделали общий прямоугольный пруд размером 5 м на 10 м (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?
3. На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 14 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 4,8 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от значения, указанного в плане?
4. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту этого столба, если наименьшая высота перил относительно земли равна 1,2 м, а наибольшая равна 3,2 м. Ответ дайте в метрах.
5. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 15 метров и 20 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.
6. Участок имеет форму квадрата, стороны которого равны 20 м. Дом, расположенный в центре участка, имеет форму прямоугольника 6 м на 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.
7. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника 20 м и 45 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если в заборе нужно предусмотреть ворота шириной 4 м.
8. Колесо имеет 5 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
9. Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла. Кухня имеет размеры 4 м на 4,5 м, санузел — 3 на 2,5 м, длина коридора — 7 м. Найдите площадь комнаты. Ответ запишите в квадратных метрах.
10. Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 14:00 ?
11. Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 150 см, а высота экрана — 90 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
12. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?
13. Пол в комнате, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 4 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?
14. От столба к дому натянут провод длиной 15 м, который закреплён на стене дома на высоте 5 м от земли (см. рис.). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в метрах.
.