Подготовка-школа-1567-математика

Обучение онлайн!

Типовые задания

    1. Упростить выражение:
      1. Упростить и найти значение выражения при х=0,25
        • (3х-2)2+(х-1)2-2(х-1)(3х-2).
      2. Упростить и найти значение выражения при х=-1,4
        • (2х+1)2+(х-1)2-2(х-1)(2х+1).
      3. Сократите дробь и найдите ее значение при х=|-1/4| и у=-|1,05|.
      4. Сократите дробь и найдите ее значения при а=-1,1 и в=0,1 .
      5. Известно, что а+1/а=3. Найдите значение выражения (а4+1)/а2.
      6. Пусть а+ 1/а=5. Найдите .
      7. Упростить и найти значение выражения при х=3,1
        • х3 +3х2(х-1)+3х(х-1)2+(х-1)3.
      8. Сократите дробь и найдите ее значение при указанных значениях переменных:
      9. Упростите выражение и найдите его значение при с=-1,41
        • 2+(4-с)3-(65-с((6-с)2+12))+с(с+2).
      10. Сократите дробь и найдите ее значение при указанных значениях переменных:
      11. Найдите значение выражения 27х3-z3, если 3х-z=-7 и 3xz=2.
      12. Известно, что х+у=-7, ху=12 . Найдите значение выражения .
      13. Известно, что а-b=-3, ab=10. Найдите значение выражения .
      14. Пусть а+b=-7, a•b=12. Найдите чему равна величина а23+b2+b3.
    1. Решить уравнение:
      1. Чему равна сумма корней уравнения (|x|-4)(x+3)=0?
      2. Чему равна сумма корней уравнений (|y|-5)(y-6)=0?
      3. Решите уравнение и укажите меньший из корней: (х2+1)(18х-17)(29-30х)=0.
      4. Чему равна сумма корней уравнения |2x+3|=4?
      5. Решите уравнение 2•|4-x|=9.
    2. Работа с формулами:
      1. Из формулы р=6am/(3a-m) выразите m через р и а.
    3. Разложение на множители:
      1. 2+3b-2ab-3a;
      2. 25x-x3
      3. x3y5-x6y2
    4. Вычислите:
      1. 0,6133-0,6132+0,613•0,387-0,3872+0,3873

 

        1. Построить график функции:
          1. у=-3х+6. Проходит ли график функции через точку М(-20;66)?
          2. у=6х+5. Укажите координаты точек пересечения с осями ординат и найдите площадь треугольника с вершинами в этих точках и начале координат.
          3. Графики функций у=ах+3 и у=(2-а)х+а пересекаются в одной точке с абсциссой, равной -1. Запишите ординату точки их пересечения.
        2. Решить задачу. Тема “движение по течению и против течения”.
          1. Теплоход прошел расстояние между пунктами А и В по течению реки за 4 ч 30 мин, а из В в А – за 6 ч 18 мин. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч?
          2. Скорость судна в стоячей воде 15км/ч. На путь от А до В против течения реки оно тратит 0,5ч, а на обратный путь 15мин. Сколько процентов от скорости судна в стоячей воде составляет скорость реки.
          3. Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 часов по течению катер проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.
        3. Решить задачу. Тема “движение”.
          1. От станции к посёлку, удаленному на 104 км, отправились одновременно мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоцикла. Прибыв в посёлок, автомобиль сразу повернул обратно и встретил мотоциклиста через 1 ч 36 мин после его выезда со станции. На каком расстоянии от станции произошла встреча?
          2. Лена и Наташа живут в одном доме и учатся в одной школе. Лена доходит от дома до школы за 20 минут, а Наташа – за 30 минут. Через сколько минут Лена догонит Наташу, если Наташа выйдет из дома на 5 минут раньше Лены?
          3. Петя вышел из школы и пошёл по направлению к дому со скоростью 4 км/ч. Одновременно с ним от дома к школе выехал на мопеде его брат Серёжа со скоростью 42 км/ч. Встретив по дороге Петю, Серёжа доехал до школы, мгновенно развернулся и поехал к дому. Таким образом Серёжа ездил между домом и школой до тех пор, пока
            Петя не пришёл домой. Сколько раз братья встретятся, пока Петя идёт от школы до дома, если расстояние между зданиями 2,8 км.
          4. Из А в В выехали два велосипедиста. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 25 км/ч, а остальное время – со скоростью 20 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 20 км/ч, а вторую со скоростью 25 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
          5. Из А в В выехали два мотоциклиста. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 30 км/ч, а остальное время – со скоростью 25 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 25 км/ч, а вторую со скоростью 30 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
          6. Из А в В выехали два автомобиля. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 40 км/ч, а остальное время – со скоростью 35 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 35 км/ч, а вторую со скоростью 40 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
          7. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч .Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.
          8. Пешеход половину пути шел со скоростью 3 км/ч, а другую половину пути со скоростью 5 км/ч. Найти длину всего пути, пройденного пешеходом, если всего он находился в пути 8 часов?
          9. Грибник шел до леса полем со скоростью 4 км/ч, а обратно возвращался по шоссе со скоростью 3 км/ч, причем
            на обратную дорогу он затратил на 45 мин больше. Найдите путь грибника до леса и обратно, если дорога по шоссе
            на 2 км длиннее, чем дорога полем.
        4. Решить задачу. Тема “работа”.
          1. Имеющегося сырья хватит первому цеху на 12 дней работы или второму цеху на 24 дня работы. Хватит ли этого  сырья на 9 дней их совместной работы?
          2. Чтобы перепечатать рукопись к определенному сроку машинистка должна была напечатать ежедневно по 60 страниц. Однако она напечатала в день на 20 страниц больше и потому закончила перепечатку рукописи на 4 дня раньше срока. Сколько страниц в рукописи?
          3. Мастерская должна была сшить определенное количество курток за 24 дня. Однако она шила ежедневно на 6 курток больше, чем планировала первоначально, и потому выполнила заказ на 4 дня раньше срока. Сколько курток должна была сшить мастерская?
          4. Бассейн заполняется водой, поступающей из двух труб. Первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая – за 20ч. После двух часов работы одной первой трубы была включена вторая труба. Сколько времени ушло на заполнение всего бассейна, и какую часть бассейна заполнила первая труба?
          5. Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя выкрасят этот же забор за 20 часов, а Люба и Катя – за 15 часов. За работу всем трем девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?
          6. Оксана делает некоторую работу за 7 часов, Марина за 6 часа, а Борис Викторович за 3 часа. После того, как Оксана сделала половину все работы, к ней присоединились Марина и Борис Викторович. За какое время была сделана вся работа и какую ее часть сделала Марина?
          7. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа – за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
        5. Решить задачу. Тема “концентрация”.
          1. Если смешать 3 л 20%-ной сметаны с 2 л 15%-ной сметаны, то сколько процентов составит жирность полученной сметаны?
          2. Если смешать 3 л 15%-ной сметаны с 2 л 25%-ной сметаны, то сколько процентов составит жирность полученной сметаны?
          3. Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит 10% олова, второй – 30% олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит 18,2% олова. Найдите массу более легкого сплава.
          4. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во втором – 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 35% золота?
        6. Решить задачу. Практические задачи.
          1. Надо застелить ковром пол в комнате, ширина которой на 1 м меньше длины. Если купить ковер, длина и ширина которого на 50 см меньше длины и ширины комнаты, то он будет на 2550 р. дешевле, чем ковер, покрывающий весь пол. Найдите длину и ширину комнаты, если известно, что 1 м2 ковра стоит 600 р.
          2. 90 одинаковых ластиков стоят 156 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
          3. 90 одинаковых ластиков стоят 210 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
          4. 60 одинаковых ластиков стоят 167 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
          5. 80 одинаковых ластиков стоят 115 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
        7. Свойства числовых и буквенных выражений:
          1. При каких значениях букв данная алгебраическая дробь имеет смысл? 
          2. При х=5 значение дроби равно 0. При каком значении х эта дробь теряет смысл?
          3. Даны числа   . Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числу, противоположному числу А, и числу, обратному числу В.
          4. Найдите все такие двузначные натуральные числа, что при перестановке цифр в каждом из них это число: а) увеличивается на 9; б) уменьшается на 63.
          5. Число получено перемножением всех чисел 93•94•95•……•162. Определите:
            а) самый большой простой делитель этого числа;
            б) наибольшую степень числа 5, на которую делиться данное число;
            в) 15 последних цифр десятичной записи этого числа.
            Ответы обоснуйте.
          6. Найдите последнюю цифру числа 15672008+20102009.
          7. Число 2с дает остаток 6 при делении на 10. Найдите остаток от деления числа с2 на 5.
          8. Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число Т, для которого число 12960•Т является квадратом целого числа.
          9. Найти все целые m, при которых значение дроби 3/(2m+1) является целым числом.
          10. Найти все целые m, при которых значение дроби 5/(2m-1) является целым числом.
          11. Докажите, что число 10001000-1 является составным. Укажите не менее пяти его делителей.
          12. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел при делении на 3 дает остаток 2.
          13. Найдите положительное число, если его квадрат равен 1566•1568+1.
          14. В комнате было 11 человек, причем их средний возраст составлял 22 года. После того, как один человек ушел из комнаты, средний возраст оставшихся составил 21 год. Сколько лет человеку, который ушел?
          15. Найти нечетное простое число n, такое, что (87+219+49) кратно n.
          16. Найти какое-либо натуральное число, которое при делении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5, 6 дает остаток 1, если на 7 это число делится нацело.
          17. Натуральное число n при делении на 7 дает остаток 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число n2+2n?
          18. Натуральное число п при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число n2+2n?
          19. Найдите последнюю цифру числа 17232011+7452011+213•1314.
        8. Задания на проценты и части:
          1. На сколько процентов 15 кг больше 12 кг?
          2. На сколько процентов 18 км больше 15 км?
          3. Найдите положительное число, если 45% от него составляют столько же, сколько составляют 20% от числа, ему обратного.
          4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как 1/5:1/3:1/20, а четвертое составляет 15% второго. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
          5. В двух магазинах были одинаковые цены на некоторый товар. В первом магазине цены на этот товар уменьшили на 20 %, а потом еще на 20 %, а во втором магазине цены снизили на 40 %. Найдите отношение цены товара в первом магазине к цене товара во втором магазине после всех снижений.
          6. Цена одной упаковки вареников с вишней в течение года менялась три раза. Сначала она увеличилась на 20%, затем уменьшилась на 5% и, наконец, возросла на 20%. Определите первоначальную цену упаковки вареников, если в конце года она была 171 рубль.
          7. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как 1/15:0,1:1/3, а четвертое составляет 80% третьего. Найдите эти числа, если известно, что разность между суммой третьего и четвертого числа и суммой первого и
            второго чисел равна 26.
          8. Цена входного билета на стадион составляла 40 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 25%, а выручка выросла на 12,5%. Какова новая цена?
          9. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как 1/3:1/5:1/2, а четвертое составляет 70% первого. Найдите эти числа, если сумма четвертого и удвоенного третьего чисел равна 74.
          10. Цена входного билета в кинотеатр составляла 50 рублей. После снижения входной платы число зрителей  увеличилось на 20%, а выручка выросла на 14%. Какова новая цена?
          11. Цена входного билета на дискотеку составляла 80 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 30%, а выручка выросла на 17%. Какова новая цена?
          12. Найдите положительное число, если 27% от него равны 90% от его квадрата.
          13. Из двух положительных чисел одно увеличили на 1 %, другое на 4 %, при этом их сумма увеличилась на 3 %. Найти большее из этих чисел, если меньшее равно 8.
          14. Яблоки при сушке потеряли 84% своей массы. Сколько сушеных яблок получится из 400 кг свежих яблок?
          15. Весовое отношение цемента, гравия и воды в составе бетонной смеси равно 3 : 15 : 2. Сколько потребуется цемента для приготовления 100т смеси?
          16. Длину прямоугольника увеличили на 10 %, а ширину уменьшили на 20%. Как изменилась площадь прямоугольника?
          17. 25 % суммы чисел a и b равны 125 % разности чисел a и b. Найдите сумму чисел a и b, если разность между
            утроенным числом a и половиной числа b равна 32.
          18. Из данных трех чисел отношение первого и второго равно 7:4. Третье число составляет 25% от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 600.
          19. Семья состоит из трех человек: отца, матери и сына. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 43%. Если бы стипендия сына увеличилась втрое, общий доход семьи вырос на 20%. Сколько процентов дохода семьи составляет зарплата отца?
        9. Координатная прямая.
          1. На координатной прямой даны две точки А(а) и В(в), причем Найдите расстояние между точками А и В.
          2. На координатной прямой найдите расстояние между точками А(а) и В(b), если
        10. Задания с параметром:
          1. При каких значениях параметра а уравнение  а32х=5ах+25а имеет бесконечно много корней?
          2. При каких значениях параметра p уравнение р3х+6р2=9рх+р3+9р не имеет корней?
          3. При каких значениях параметра а уравнение (а2-4)х=а2+5а+6 имеет бесконечно много решений?
          4. Дано уравнение 4a2(x-1)+9(x+1)=12ax. а) при каких а уравнение имеет корень, равный 1; б) решите уравнение при а=-2; в) при каких а уравнение имеет более 2-х корней?
          5. Дано уравнение 9a2(x-1)+4(x+1)=12ax. а) при каких а уравнение имеет корень, равный 1; б) решите уравнение при а=-3; в) при каких а уравнение имеет более двух корней?
          6. Дано уравнение 25a2(x-1)+16(x+1)=40ax. а) при каких а уравнение имеет корень, равный 1; б) решите уравнение при а=-5; в) при каких а уравнение имеет более двух корней?
          7. Дано уравнение a2(x-1)=9(9x+9-2а). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней, имеет один корень, имеет более одного корня.
          8. При каких значениях а уравнение (х-2)(х2+ах-6а2)=0 имеет ровно два различных корня?
        11. Анализ высказываний:
          1. Известно, что среди трех следующих утверждений есть верное: А) за 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?

 

 

Геометрия

  1. Задачи по теме “окружности”:
    1. В окружности с центром О и радиусом 2 дм проведена хорда АВ на расстоянии 10 см от ее центра. Найти углы треугольника АВО.
  2. Задачи по теме “треугольники”.
    1. В равнобедренном ΔАВС с основанию АС проведена биссектриса ВD, равная 7 см. Найдите периметр ΔАВС, если  периметр ΔАВD равен 18 см.
    2. На данном рисунке ΔDВЕ – равнобедренный с основанием DЕ, АD = ЕC. а) Докажите, что Δ АВС равнобедренный. б) Найдите ∠ ВDЕ, если сумма ∠ ВDА и ∠ ВЕС равна 230°.
    3. Внешний угол треугольника равен 110˚, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 5:6. Найти углы треугольника.
    4. Две стороны равнобедренного треугольника равны 2 см и 19 см. Найти периметр треугольника.
    5. Два угла треугольника равны 22˚ и 66˚. Середины сторон треугольника соединены отрезками, параллельными соответствующим сторонам. Найти углы треугольника, образованного этими отрезками.
    6. В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла пересекает гипотенузу под углом 80˚. Найдите острые угла данного треугольника.
    7. В прямоугольном Δ АВС ∠ В = 90˚, АВ = 8 см, АС = 16 см. Найдите углы, которые образует высота ВН с катетами треугольника.
    8. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС и пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1. (Рассмотрите два различных случая.)
    9. Дан треугольник АВС с углами 30°, 70° и 80° соответственно. Внутри треугольника взята точка О, такая, что  треугольники АОВ, АОС и ВОС являются равнобедренными с общей вершиной О. Найдите углы этих равнобедренных треугольников.
    10. Углы равнобедренного треугольника пропорциональны числам 2 и 5. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
    11. Углы равнобедренного треугольника относятся друг к другу как 5 : 2. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты треугольника, проведенные из вершин неравных углов.
    12. Один из углов равнобедренного треугольника равен 24°. Найдите острый угол между двумя биссектрисами, исходящими из углов при основании треугольника.
    13. В треугольнике АВС АВ = ВС, точка Т – середина стороны АВ, точка Н – середина стороны ВС, отрезок ТР перпендикулярен к стороне АВ, отрезок КН перпендикулярен к стороне ВС (точки Р и К лежат на стороне АС),  АВС = 1200, АС= 21 см. Найдите длину отрезка РК.
    14. В треугольнике АВС угол В равен 100º. На луче СА отмечена точка М так, что МА=АВ, и точка А находится между точками М и С. На луче АС отмечена точка N так, что СN=ВС, и точка С находится между точками А и N. Найдите градусную меру угла МВN.
    15. В треугольнике СDE угол D равен 110º. На луче EС отмечена точка T так, что CT=CD, и точка C находится между точками T и E. На луче CE отмечена точка F так, что DE=EF, и точка E находится между точками C и F. Найдите градусную меру угла TDF.
    16. В треугольнике PQT угол Q равен 90º. На луче TP отмечена точка O так, что OP=PQ, и точка P находится между точками O и T. На луче PT отмечена точка K так, что QT=TK, и точка T находится между точками P и K. Найдите градусную меру угла OQK.
    17. В треугольнике XYZ угол X равен 80º. На луче ZY отмечена точка H так, что HY=XY, и точка Y находится между точками H и Z. На луче YZ отмечена точка S так, что XZ=ZS, и точка Z находится между точками Y и S. Найдите градусную меру угла HXS.
    18. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 20 см.
    19. В треугольнике АВС ∠А : ∠В : ∠С = 3 : 5 : 2. На прямой, содержащей медиану СМ, отложен отрезок МК, равный СМ. Найти ∠АВК.
    20. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведены биссектрисы АА1 и ВВ1, которые пересекаются в точке О. Найти углы треугольника АОВ1, если один из углов треугольника АВС на 30º больше другого. Рассмотреть не менее двух случаев.
    21. В треугольнике АВС ∠А:∠В=2:5, ∠В:∠С=5:11. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  3. Задачи по теме “отрезки, прямые и углы”.
    1. Прямая d пересекает отрезок КМ в его середине точке В. Найти расстояние от точки К до прямой d, если расстояние от точки М до этой прямой равно 56 см.
    2. Отрезок АК пересекает отрезок ВМ в точке О, причем АО = ОК и прямая АВ параллельна прямой КМ. Докажите, что АМ = ВК.
    3. Даны две параллельные прямые d и b и секущая m. Биссектриса одного из внутренних углов, образованных прямыми d и m, составляет с прямой b угол в 37˚. Найти все углы, образованные прямыми d и b и секущей m.