Параллельность прямых и плоскостей

Возможные расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит в плоскости (все ее точки принадлежат этой плоскости);

2) прямая пересекает плоскость (у прямой и плоскости только одна общая точка);

3) прямая и плоскость не пересекаются (у них нет ни одной общей точки).

Использование специальных символов:

А∈а — точка А принадлежит прямой а (некоторое значение принадлежит какому-то множеству);

а⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (одно множество принадлежит другому множеству);

a∩b=A  — прямые a и b пересекаются в точке А;

α∩β=a — плоскости α и β пересекаются по прямой a.

 

Определения:

  1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
  2. Прямая и плоскость называются параллельными, если у них нет ни одной общей точки.

Теоремы:

  1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и только одна.
  2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
  3. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая и плоскость параллельны.

Утверждения:

  1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
  2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.