Матрицы

Обучение онлайн!

 

Операции над матрицами

  1. Квадратная матрица – матрица размером n × n.
  2. Диагональная матрица – матрица, все элементы которой кроме главной диагонали равны 0. Ее ранг равен количеству ненулевых элементов главной диагонали. 
  3. Нулевая матрица – все элементы матрицы равны 0.
  4. Матрицы можно перемножить, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
  5. Матрицы коммутируют, если АВ=ВА.
  6. Перемножение матриц: 
  7. Складывать/вычитать матрицы можно только, если они одинакового размера.
  8. Сложение/вычитание матриц: сложить/вычесть соответствующие элементы первой матрицы со второй.
  9. Умножение матрицы на число: умножить каждый элемент матрицы на заданное число.
  10. Сложение матрицы и числа:
    • 1 шаг: представляем число в виде диагональной матрицы, в которой все элементы главной диагонали равны заданному числу;
    • 2 шаг: складываем соответствующие элементы.
  11. Транспонированная матрица – матрица, у которой все строки превратились в столбцы.
  12. Крайний элемент матрицы – первый ненулевой элемент строки (слева направо).
  13. Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.
  14. Элементарные преобразования матрицы:
    1. перемена местами двух строк (столбцов);
    2. умножение строки (столбца) на число отличное от 0;
    3. прибавление к элементами одной строки элементов другой строки.
  15. Эквивалентная матрица – матрица, полученная в результате элементарных преобразований.

 

Ранг матрицы

  1. Минор матрицы – определитель части матрицы, составленной из квадратной матрицы любого размера, не превышающего размера заданной матрицы.
  2. Обратная матрица методом присоединенной матрицы.
  3. Обратная матрица методом элементарных преобразований.
  4. Решение матричных уравнений:
    • Ах=В, то х=А-1В;
    • хА=В, то х=ВА-1.

Решение систем линейных уравнений

  1. Расширенная матрица – это матрица системы и столбец свободных членов.
  2. Совместная/несовместная система –
  3. Определенная/неопределенная система –
  4. Общее решение системы –
  5. Частное решение –
  6. Фундаментальное решение –
  7. Базисные переменные –
  8. Свободные переменные –
  9. Метод Гаусса.
  10. Метод обратной матрицы.
  11. Метод Крамера.