ЕГЭ-математика-профиль-задание 16

Обучение онлайн!

 

страница в работе

Алгоритм

  1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.
  2. Подберите для вопроса задачи фигуру, а к ней правила, которые помогут найти то, что Вам нужно. Четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить. Если вспоминать в принципе нечего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!
  3. Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!

Учим

1. Перпендикуляр, высота, расстояние, медиана, средняя линия.

2. Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой. Прямой угол – угол, величина которого равна 90º.

  • cамая длинная сторона называется гипотенузой. Она всегда лежит напротив угла 90º, две другие стороны называются катетами;
  • rосинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • cинус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

5.  Сумма углов в треугольнике 180º. Сумма смежных углов равна 180 º. Вертикальные углы равны. Углов при основании равнобедренного треугольника равны. Все углы равностороннего треугольника равны 60º.

6. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, в равностороннем треугольнике три стороны равны. В равнобедренном треугольнике полезно проводить высоту к основанию, это позволит рассмотреть маленький прямоугольный треугольник, в котором действуют все правила, имеющие отношения к прямоугольным треугольникам.

7. В равностороннем треугольнике три стороны равны, все углы равны 60º. Все биссектрисы являются одновременно медианами и высотами.

8. В любом треугольнике напротив большей стороны в треугольнике лежит бОльший угол; напротив меньшей стороны в треугольнике лежит меньший угол.

9. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, угла при основании равны, биссектриса, проведенная к основанию (!!!) является медианой и высотой.

10. Точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы) равностороннего треугольника является центром и вписанной и описанной окружности. Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности. Окружность является вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: r=a√3/6 или r=h/3. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника: r=a√3/3 или r=2h/3. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (а+b-c):2 (а, b – катеты, с – гипотенуза). Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника: r=a:2sinα (а – сторона, лежащая напротив угла α).

11. Большая высота в треугольниках и параллелограммах проводится к меньшей стороне. Меньшая высота в треугольниках и параллелограммах проводится к большей стороне.

12. Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине противолежащей стороны. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне под углом 90º. Биссектриса – луч, делящий угол пополам (на две равные части). Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

13. Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. У такого четырехугольника суммы противолежащих углов равны 180º. Окружность является вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. У такого четырехугольника суммы противолежащих сторон равны. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата (ее можно найти по теореме Пифагора). Радиус окружности вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата.

14. Если фигура задана на координатной плоскости:  для определения длины сторон или высот вычитаем из правой координаты левую координату (или из верхней координаты – нижнюю координату).

15. Средняя линия треугольника: m=a/2 (m – средняя линия, а – сторона, которая параллельна средней линии). Средняя линия трапеции: m=(a+b):2 (m – средняя линия, а и b – основания трапеции).

16. Основания трапеции параллельны друг другу (они необязательно на чертеже расположены сверху и снизу). Основания трапеции никогда не равны друг другу.

17. Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно найти площадь большой (внешней) фигуры и вычесть из нее площадь маленькой. Для вычисления площадей кругов, изображенных на клеточках, нужно найти по клеточкам радиусы каждого круга, разделить их друг на друга (то есть найти коэффициент подобия). Возвести коэффициент подобия в квадрат, это число показывает во сколько раз площадь большого круга отличается от площади маленького. Умножаем площадь маленького круга на коэффициент подобия в квадрате – это площадь большого круга. Вычитаем из площади большого круга площадь маленького – узнаем площадь заштрихованной части.

18. Чтобы найти площадь сектора, нужно по клеточкам определить какую часть всего круга он занимает и разделить площадь всего круга на это число.

19. Вы должны уметь различать фигуры и знать формулы их площадей.

Прямоугольник \large S=ab
Квадрат

/все стороны равны/

\large S=a^{2}
Ромб

/все стороны равны/

\large S=\frac{d_{1}d_{2}}{2}

\large S=ah

Трапеция

/a и b – основания-две параллельные стороны/

\large S=\frac{(a+b)h}{2}
Параллелограмм \large S=ah
Треугольник прямоугольный \large S=\frac{ab}{2}
Треугольник равнобедренный, равносторонний, произвольный \large S=\frac{ah}{2}
Круг \large S=\pi r^{2}

20. Периметр – это сумма длин всех сторон любой (!!!) фигуры.

21. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

22. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º.

23. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу. Для центральных углов градусная мера всей окружности равна 360º. Градусная мера всей окружности для вписанных углов равна 180º.

24. В подобных треугольниках соответствующие стороны отличаются в одинаковое количество раз. Это коэффициент подобия. Если известна площадь маленького треугольника, то умножаем ее на коэффициент подобия в квадрате и получаем площадь большого. Если известна площадь большого треугольника, то делим ее на коэффициент подобия в квадрате и получаем площадь маленького.

25. Если в равнобедренной трапеции провести две высоты, то они отсекут на большем основании равные части по бокам.

26. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

27. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения. Переменная – это буква.