ЕГЭ-математика-профиль-задание 13

Обучение онлайн!

СТРАНИЦА в работе

есть вордовский документ в папке

 

Алгоритм

  1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.
  2. Подберите для вопроса задачи фигуру, а к ней правила, которые помогут найти то, что Вам нужно. Четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить. Если вспоминать в принципе нечего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!
  3. Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!

Учим

1. Перпендикуляр, высота, расстояние, медиана, средняя линия.

2. Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой. Прямой угол – угол, величина которого равна 90º.

  • cамая длинная сторона называется гипотенузой. Она всегда лежит напротив угла 90º, две другие стороны называются катетами;
  • rосинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • cинус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

3.  Сумма углов в треугольнике 180º. Сумма смежных углов равна 180 º. Вертикальные углы равны. Углов при основании равнобедренного треугольника равны. Все углы равностороннего треугольника равны 60º.

6. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, в равностороннем треугольнике три стороны равны. В равнобедренном треугольнике полезно проводить высоту к основанию, это позволит рассмотреть маленький прямоугольный треугольник, в котором действуют все правила, имеющие отношения к прямоугольным треугольникам.

7. В равностороннем треугольнике три стороны равны, все углы равны 60º. Все биссектрисы являются одновременно медианами и высотами.

8. В любом треугольнике напротив большей стороны в треугольнике лежит бОльший угол; напротив меньшей стороны в треугольнике лежит меньший угол.

9. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, угла при основании равны, биссектриса, проведенная к основанию (!!!) является медианой и высотой.

10. Точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы) равностороннего треугольника является центром и вписанной и описанной окружности. Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности. Окружность является вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: r=a√3/6 или r=h/3. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника: r=a√3/3 или r=2h/3. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (а+b-c):2 (а, b – катеты, с – гипотенуза). Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника: r=a:2sinα (а – сторона, лежащая напротив угла α).

11. Большая высота в треугольниках и параллелограммах проводится к меньшей стороне. Меньшая высота в треугольниках и параллелограммах проводится к большей стороне.

12. Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине противолежащей стороны. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне под углом 90º. Биссектриса – луч, делящий угол пополам (на две равные части). Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

13. Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. У такого четырехугольника суммы противолежащих углов равны 180º. Окружность является вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. У такого четырехугольника суммы противолежащих сторон равны. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата (ее можно найти по теореме Пифагора). Радиус окружности вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата.

14. Если фигура задана на координатной плоскости:  для определения длины сторон или высот вычитаем из правой координаты левую координату (или из верхней координаты – нижнюю координату).

15. Средняя линия треугольника: m=a/2 (m – средняя линия, а – сторона, которая параллельна средней линии). Средняя линия трапеции: m=(a+b):2 (m – средняя линия, а и b – основания трапеции).

16. Основания трапеции параллельны друг другу (они необязательно на чертеже расположены сверху и снизу). Основания трапеции никогда не равны друг другу.

17. Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно найти площадь большой (внешней) фигуры и вычесть из нее площадь маленькой. Для вычисления площадей кругов, изображенных на клеточках, нужно найти по клеточкам радиусы каждого круга, разделить их друг на друга (то есть найти коэффициент подобия). Возвести коэффициент подобия в квадрат, это число показывает во сколько раз площадь большого круга отличается от площади маленького. Умножаем площадь маленького круга на коэффициент подобия в квадрате – это площадь большого круга. Вычитаем из площади большого круга площадь маленького – узнаем площадь заштрихованной части.

18. Чтобы найти площадь сектора, нужно по клеточкам определить какую часть всего круга он занимает и разделить площадь всего круга на это число.

19. Вы должны уметь различать фигуры и знать формулы их площадей.

Прямоугольник \large S=ab
Квадрат

/все стороны равны/

\large S=a^{2}
Ромб

/все стороны равны/

\large S=\frac{d_{1}d_{2}}{2}

\large S=ah

Трапеция

/a и b – основания-две параллельные стороны/

\large S=\frac{(a+b)h}{2}
Параллелограмм \large S=ah
Треугольник прямоугольный \large S=\frac{ab}{2}
Треугольник равнобедренный, равносторонний, произвольный \large S=\frac{ah}{2}
Круг \large S=\pi r^{2}

20. Периметр – это сумма длин всех сторон любой (!!!) фигуры.

21. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

22. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º.

23. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу. Для центральных углов градусная мера всей окружности равна 360º. Градусная мера всей окружности для вписанных углов равна 180º.

24. В подобных треугольниках соответствующие стороны отличаются в одинаковое количество раз. Это коэффициент подобия. Если известна площадь маленького треугольника, то умножаем ее на коэффициент подобия в квадрате и получаем площадь большого. Если известна площадь большого треугольника, то делим ее на коэффициент подобия в квадрате и получаем площадь маленького.

25. Если в равнобедренной трапеции провести две высоты, то они отсекут на большем основании равные части по бокам.

26. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

27. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения. Переменная – это буква.

№ 1 (2020г.) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.

Смотреть ответ

а) используйте для доказательства подобие двух пар треугольников; б) 9√11/7

[collapse]
Смотреть чертеж, но сначала постройте его САМОСТОЯТЕЛЬНО

[collapse]
Смотреть решение

1. Читаю задачу частями и к каждой части сразу делаю чертеж, обозначаю все известное.

2. Кратко (очень кратко!) формулирую, что от меня хотят: доказать перпендикулярность плоскостей.

3. Вспоминаю все правила, которые позволяют это доказать: например, признак перпендикулярности плоскостей /если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости , то такие плоскости перпендикулярны/.

4. Выполним дополнительные построения: проведем ОС, где О центр основания шестиугольника, проведем КН, точка Н∈ОС, Н∈(МKD) /если докажем, что КН перпендикулярна (АВС), то по признаку перпендикулярности плоскостей и (MKD)⊥(ABC)/.

5. К∈SO, H∈CO ⇒KH∈(SOC), так как две точки прямой КН принадлежат (SOC). В плоскости (SOC)  лежит прямая SO, которая является высотой пирамиды. Если мы докажем, что КН||SO, то докажем, что КН⊥(АВС), так как если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

6. Вспоминаю, как можно доказать параллельность прямых: если прямые, пересекающие две другие прямые отсекают на них пропорциональные отрезки, то такие прямые параллельны /обратная теорема Фалеса. То есть нужно рассмотреть соотношение отрезков СК к КS и СН к НО.

7. По условию SC=7, SK=4, следовательно, КС=3, а отношение СК:КS=3:4.

8. Чтобы рассмотреть соотношение СН к НО рассмотрим плоскость шестиугольника, выполним выносной чертеж и подберем для СН и НО подходящие фигурки для анализа:

9. НС входит в ΔМНС, НС входит в ΔОНD. Рассмотрим эти треугольники.

∠МНС=∠ОНD, как вертикальные углы;

∠МСН=60º, так как ∠МСD=120º (угол шестиугольника), а СО – диагональ шестиугольника является биссектрисой; ∠СОD=60º, так как треугольник СOD равносторонний, то есть ∠МСН=∠СОD.

ΔМНС∼ΔОНD по двум углам, поэтому СН:НО=МС:OD.

По условию ВС=4, ВМ=1, следовательно, МС=3. OD – сторона равностороннего треугольника, следовательно, OD=4. Отсюда, СН:НО=3:4.

10. Из пунктов 9 и 8 следует, что СН:НО=СК:КS. Тогда по обратной теореме Фалеса, КН||SO. Так как SO⊥(АВС), то и КН⊥(АВС). Так как КН∈(МКD), то и (МКD)⊥(АВС). Ч.т.д.

б) 1.Что от меня хотят? Найти объем пирамиды CDKM. Поэтому сразу записываю формулу, используя обозначения данной задачи: V=SMDC•KH:3.

2. SMDC=MC•CD•sin∠C:2. Могу найти сразу, так как все известно: SMDC=3•4sin∠60º:2=3√3.

3. Чтобы найти КН, рассмотрим ΔОSC  и ΔНКС, они подобны по двум углам: ∠СНК=∠СОS и ∠СКН=∠СSO, как соответственные при КН||SO и секущих ОС и SC соответственно. В подобных треугольниках SO:KH=SC:KC=7:3, то есть КН=3SO/7.

4. SO найдем из ΔОSC, так как SO – высота, то треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора

5.

[collapse]
Векторный способ решение

[collapse]

№ 2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Смотреть ответ

а)  б)

[collapse]
Смотреть чертеж, но сначала постройте его САМОСТОЯТЕЛЬНО

[collapse]
Смотреть решение

1. Читаю задачу частями и к каждой части сразу делаю чертеж, обозначаю все известное.

2. Кратко (очень кратко!) формулирую, что от меня хотят: доказать перпендикулярность плоскостей.

3. Вспоминаю все правила, которые позволяют это доказать: например, признак перпендикулярности плоскостей /если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости , то такие плоскости перпендикулярны/.

4. Выполним дополнительные построения: проведем ОС, где О центр основания шестиугольника, проведем КН, точка Н∈ОС, Н∈(МKD) /если докажем, что КН перпендикулярна (АВС), то по признаку перпендикулярности плоскостей и (MKD)⊥(ABC)/.

5. К∈SO, H∈CO ⇒KH∈(SOC), так как две точки прямой КН принадлежат (SOC). В плоскости (SOC)  лежит прямая SO, которая является высотой пирамиды. Если мы докажем, что КН||SO, то докажем, что КН⊥(АВС), так как если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

6. Вспоминаю, как можно доказать параллельность прямых: если прямые, пересекающие две другие прямые отсекают на них пропорциональные отрезки, то такие прямые параллельны /обратная теорема Фалеса. То есть нужно рассмотреть соотношение отрезков СК к КS и СН к НО.

[collapse]

Задача 3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Смотреть ответ

а) используйте для доказательства подобие двух пар треугольников; б)12√41/7

[collapse]

Смотреть чертеж, но сначала постройте его САМОСТОЯТЕЛЬНО

[collapse]

Задача 4
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Ответ: 

Задача 5
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро SA = \sqrt43 Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Ответ:

Задача 6
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3.Ребро SA=4\sqrt3 Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Ответ:

Задача 7
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите объем пирамиды MCDK.
Ответ: 

Задача 8
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.
Ответ: 

Задача 9
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Ответ:

Задача 10
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1.
а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ.
Ответ: 

Задача 11
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 в которой AB = 6 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 1.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Ответ: 

Задача 12
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой AB = 1 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 2.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Ответ: 

Задача 13
Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка E такая, что BE = \sqrt41 и CE = 5\sqrt2
а) Докажите, что плоскость ABB1 проходит через точку E.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости EBC, если объем EA1B1C1 в 2 раза меньше объема EBCC1.
Ответ:

Задача 14
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС. Через точки K, P, D1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая — равнобокая трапеция.
б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α, если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.
Ответ:

Задачи про правильные призмы

  1. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
    • а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
    • б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1Ответ: \arcsin корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 }.  (Демонстрационная версия.2021)
  2. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 в которой AB = 6 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 1.
    • а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
    • б) Найдите объем пирамиды ABMC1Ответ: 6 корень из { 3}.(Основная волна.2020)
  3. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
    • а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
    • б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA1 = 1. Ответ:  дробь, числитель — 8 корень из { 3}, знаменатель — 7 . (Резервная волна.2021)

Задачи про правильные пирамиды

  1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах ABCD и AS отмечены точки MN и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
    • а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
    • б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBCОтвет:  дробь, числитель — 12 корень из 5 , знаменатель — 5 . (Демонстрационная версия.2021)
  2. Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.
    • а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
    • б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14. Ответ:  дробь, числитель — 88 корень из { 2}, знаменатель — 3 . (Досрочная волна.2021)
  3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SHK — середина ребра SDN — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P. 
    • а) Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
    • б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16. Ответ:   дробь, числитель — 120, знаменатель — 17 . (Основная волна.2021)
  4. Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
    • а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади BSC как 3 : 4.
    • б) Найдите объем пирамиды KBQPCОтвет: 80 корень из { 3}. (Основная волна.2021)
  5. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
    • а) Докажите, что плоскость α параллельна SA.
    • б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBCОтвет:  2\arcsin дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 10 }.  (Досрочная волна.2020)
  6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
    • а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
    • б) Найдите объём пирамиды BCKMОтвет:  дробь, числитель — 12 корень из { 41}, знаменатель — 7 . (Основная волна.2021)
  7. Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро SA= корень из { 43}. Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
    • а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
    • б) Найдите площадь сечения α. Ответ:  дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .(Основная волна.2021)
  8. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
    • a) Докажите, что MK = KD.
    • б) Найдите объем пирамиды MCDKОтвет: 36 корень из { 11}.(Основная волна.2021)
  9. Дана правильная треугольная пирамида SABCM — середина ABN — середина CS.
    • а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
    • б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5. Ответ: 6 корень из { 39}.(Основная волна.2020)
  10. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
    • а) Докажите, что SA = SC.
    • б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB = 30, SC = 17, СB = 24. Ответ: \arctg дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . (Основная волна.2020)

Задачи про цилиндры

  1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
    • а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
    • б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8. Ответ: \arctg{ дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 }..(Основная волна.2018) 
  2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C , а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle{ACB}=45 в степени circ, AB=2 корень из { 2},CC_1=4.
    • а) Докажите,что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60 в степени circ.
    • б) Найдите объём цилиндра. Ответ: 16 Пи (Основная волна.2018)

Задачи про кубы

  1. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.
    • а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.
    • б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1Ответ: 2 корень из 3 .(Основная волна)