ЕГЭ-математика-профиль-задание-6

Обучение онлайн!

Задание № 6

-ЕГЭ-профиль-

Свойства производных и функций

  • базовый уровень сложности;
  • рекомендуемое время выполнения – 3 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 10-11 классах.

Задание легкое, но правил достаточно много. Многие правила кажутся одинаковыми, но это не так. Внимательно относитесь к мелочам в формулировках, их придумали умные люди, от Вас требуется только точное воспроизведение.

Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

  • ученикам: учить всю теорию и образцы решения; практиковаться в решении всех представленных здесь заданий;
  • родителям, которые активно участвуют в подготовке:
    • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию, проверять Вы его можете по тексту на сайте;
    • не задавайте наводящих вопросов, как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны;
    • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы, а Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам.

Алгоритмы, которые Вам предлагаются, нужно выполнять и проговаривать целиком, тогда Вы не запутаетесь с выбором правила, которое необходимо в конкретном задании. Не добавляйте лишних слов, не заменяйте их своими.

Оглавление

Алгоритм решения заданий с графиками производных и функций

Алгоритм

1. Читаем текст и отвечаем на вопрос: “График чего мне дали?” Отвечаем одним словом! Не двумя (тремя и т.д.), а одним! Подчеркните это слово, чтобы не забыть. Варианты ответа: функция или производная.

    • Эту рекомендацию выполняем точь в точь как она сформулирована, ключевые слова: одним словом, подчеркнуть!
    • Обозначим это слово “СЛОВО 1”.

2. Читаем текст и отвечаем на вопрос: “О чем вопрос?” Отвечаем одним словом! Не двумя (тремя и т.д.), а одним! Подчеркните это слово, чтобы не забыть. Варианты ответа: функция или производная.

    • Ответы на первый и второй вопрос должны быть разными! 
    • Обозначим это слово “СЛОВО 2”,

3. Формулируем ответ:

      • СЛОВО 2принимает значение (является, имеет…и т.д.) там, гдеСЛОВО 1” ….. (правило).
        • если составленную фразу сложно удержать в памяти, запишите ее;
      • строго по составленной фразе ищем на графике подходящие точки или промежутки.

Обязательно выделите то, что дано, и то, что надо найти.

[collapse]
Алгоритм решения заданий с графиком функций и касательной

Алгоритм

1. Строим прямоугольный треугольник по следующим правилам: 

        • касательная является гипотенузой нашего треугольника;
        • горизонтальный катет обязательно находится внизу треугольника (он фундамент);
        • и горизонтальный катет и вертикальный катет проходят по линиям сетки (нельзя проводить катеты по диагонали, по середине клетки и т.д.);
        • вершины треугольника обязательно находятся в узлах клеток;

2. Считаем по клеткам длины катетов.

3. Находим тангенс нижнего острого угла (вертикальный катет делим на горизонтальный). Это ответ.

4. Если касательная убывала, то результат отрицательный, если касательная возрастала, то результат положительный.

  • Внимание! 
  • горизонтальный – это слева направо; вертикальный – это снизу вверх;
  • потеря минуса в ответе – это потеря балла.

[collapse]
Алгоритм решения заданий с формулами

Алгоритм

1. Если дано уравнение координаты, а требуется найти значение скорости, то находим производную данного уравнения.

    • при необходимости в полученное выражение подставить заданное значение времени (в первоначальное выражение время не подставлять!)

2. Если дано уравнение координаты, а требуется найти значение ускорения, то находим производную дважды.

  • при необходимости в полученное выражение подставить заданное значение времени (в первоначальное выражение время не подставлять!)

3.Если дано уравнение скорости, а требуется найти ускорение, то находим производную от заданного выражения.

  • при необходимости в полученное выражение подставить заданное значение времени (в первоначальное выражение время не подставлять!)

4. Если заданы две функции и требуется найти точку их касания, то просто приравниваем их и решаем получившееся уравнение.

5. Если заданы производная и функция, то находим производную от функции и приравниваем ее с производной.

  • Внимание! 
  • в этих заданиях требуется знание формул нахождения производной.

[collapse]
Алгоритм решения заданий на нахождение площади под графиком

Алгоритм

1. Подставляем правую границу в заданное выражение, проводим вычисления.

2. Подставляем левую границу в заданное выражение, проводим вычисления

3. Вычитаем из первого значения второе. Это ответ.

4. В ответе записываем модуль.

  • Внимание! 
  • в этих заданиях в процессе решения будут получаться “некрасивые числа”, это не страшно.

[collapse]
Общие правила

Общие правила

1.Производная – это скорость изменения функции.

2.Производная – это тангенс угла наклона касательной к графику.

3.Если график касательной возрастает, то производная положительная, если график касательной убывает, то производная отрицательна.

4.Производная равна 0 там где ее график пересекает ось ОХ.

5. Связь производной и функции: 

  • если производная положительна, то функция возрастает;
  • если производная отрицательна, то функция убывает;
  • если производная равна 0, то функция имеет в этой точке максимум или минимум;
  • если производная меняет знак с плюса на минус, то функция принимает в этой точке максимальное значение;
  • если производная меняет знак с минуса на плюс, то функция принимает в этой точке минимальное значение;
  • экстремум – это максимальное или минимальное значение функции;
  • если производная равна 0, то в этой точке экстремум функции.

6. И обратная зависимость:

  • если функция возрастает, то производная положительна;
  • если функция убывает, то производная отрицательна;
  • если функция принимает в некоторой точке максимум или минимум, то производная равна 0;
  • если функция принимает в некоторой точке максимальное значение, то производная меняет знак с плюса на минус;
  • если функция принимает в некоторой точке минимальное значение, то производная меняет знак с минуса на плюс;
  • функция принимает наименьшее значение в конце отрицательного промежутка производной;
  • функция принимает наибольшее значение в конце положительного промежутка производной;
  • точка экстремума функции там, где производная равна 0.

7. Производная положительна над осью ОХ, отрицательна под осью ОХ.

Таблица производных


[collapse]
Образцы решения

Образцы решения

  1. На рисунке изображён график функции y=f(x) . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
    • Решение (выполняю алгоритм):
      • что мне дано? (смотрю в задачу)- функция;
      • о чем вопрос? (смотрю в задачу) – о производной;
      • смотрю на вопрос и формулирую по нему ответ: производная наибольшая там, где угол наклона касательной самый большой;
      • провожу во всех указанных точках касательные;
      • убывающие касательные отбрасываю (там производные отрицательные, то есть точно не наибольшие);
      • остаются касательные к точками -2 и 2;
      • выбираю касательную с самым крутым наклоном;
    • Ответ: 2.
  2. На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция  – одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
    • Решение:
      • подставляю в заданную функцию -10, вычисляю: 
      • подставляю в заданную функцию -7, вычисляю: 
      • вычитаю из большего значения меньшее: 
    • Ответ: 6.

14. На рисунке изображен график функции у=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2,1,3,4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

  1. График чего нам дан? (подчеркнуть, лишних слов не добавлять): график функции
  2. Вопрос о чем? (подчеркнуть, лишних слов не добавлять): о производной;
  3. Начнем формулировать ответ на вопрос, начало ответа берем из текста задания: Производная максимальна там, где … (далее добавляем правило из памяти) ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ САМЫЙ КРУТОЙ ПОДЪЕМ:

В точке 1 подъем самый крутой.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

[collapse]