ЕГЭ-математика-профиль-задание-5

Обучение онлайн!

Задание № 5

– ЕГЭ – профиль –

Задание № 5. Задачи по стереометрии (фигуры в пространстве):

  • базовый уровень сложности;
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 10-11 классах

Для этого задания учить придется не очень много, это небольшое количество формул и несколько логических приемов, которые позволят обойтись при решении задач без формул. Главная сложность, с которой сталкиваются ученики, это очень плохое пространственное мышление. Если то, как выглядит шар представляют себе почти все, то уже с пирамидками и параллелепипедами начинаются сложности, хотя предметы таких форм окружают всех нас с детства.

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

2. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам.

  • просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

Общие правила

Общие правила

1. Алгоритм

  • выполнить чертеж и ОБЯЗАТЕЛЬНО нанести на него все данные (ведь у нас не кружок рисования, ценится не красивая фигурка, а ПОЛЕЗНАЯ);
  • попытаться применить логику для решения задачи, это значительно сократит время решения;
  • если логически разобраться не получилось, то записываем формулу, которая необходима, чтобы ответить на вопрос задачи;
  • если все необходимое для формулы известно, то просто подставляем значения и проводим вычисления;
  • если в подходящей формуле, что-то неизвестно, то подбираем ПОЛЕЗНУЮ фигуру (ту, в которой много известных величин), и находим недостающие данные;
  • ничего страшного, если при решении задачи придется сделать не два действия, а целых четыре, все таки это ЕГЭ, а не детский сад.

2. Все стереометрические фигуры можно разделить на три основные группы (тогда количество формул, которые Вам нужно выучить, значительно сократиться, потому что фигуры  из одной той же группы обладают одними и теми же свойствами.

  • призмы и цилиндры – фигуры, у которых 2 абсолютно одинаковых основания (параллелепипеды, куб, треугольная призма, шестиугольная призма, “сколько угодно”угольная призма; цилиндр;
  • конусы и пирамиды – фигуры, у которых одно основание, а все боковые ребра сходятся в одной точке;
  • шар (самая совершенная фигура во Вселенной yes).

3. Формулы:

  • объемы всех призм и цилиндров: V=Sосн.•h, где Sосн. – площадь основания (одного; любого); h – высота.
  • объемы всех конусов и пирамид: V= Sосн.•h:3, где Sосн. – площадь основания; h – высота.
  • объем шара: V=4πr3:3, где r – радиус шара.
  • площади боковой поверхности всех призм: Sбок.пов.=(a+b+c+…)•h, где a,b,c,… – стороны основания; h – высота призмы.
  • площадь боковой поверхности всех цилиндров: Sбок.пов.=2πrh, где r – радиус основания (любого), h  – высота цилиндра.
  • площади боковой поверхности всех конусов: Sбок.пов.=πrl, где r – радиус основания, l – длина образующей.
  • площадь боковой поверхности всех пирамид: Sбок.пов.= S1+S2+S3+…, где S1,S2,S3…  – площади боковых граней пирамиды (все грани являются треугольниками, чтобы найти их площади, нужно воспользоваться формулой площади треугольника).
  • площадь поверхности шара: S=4πr2.
  • площадь полной поверхности у призм и цилиндра находится как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • площадь полной поверхности у конуса и пирамиды находится как сумма площади боковой поверхности и площади основания. 
  • площади основания находятся по формулам из планиметрии:
    • если основание – треугольник, то

          \[S=\frac{a\cdot b}{2}; S=\frac{c\cdot d\cdot sin\alpha }{2};S=\frac{zh}{2}\]

      • a,b – катеты прямоугольного треугольника;
      • c,d – стороны произвольного треугольника, α – угол между этими сторонами;
      • h – высота произвольного треугольника, z – сторона произвольного треугольника, к которой проведена эта высота.
    • если основание – прямоугольник, то S=ab, где a, b – стороны прямоугольника;
    • если основание – квадрат, то S=a2, где а – сторона квадрата;
    • если основание – ромб, то S=d1•d2:2, где d1d– диагонали ромба, а также можно воспользоваться любой формулой площади параллелограмма;
    • если основание – параллелограмм, то
      • S=ah, где h – высота параллелограмма, а – сторона параллелограмма, к которой проведена высота;
      • S=absinα, где  а,b  – стороны параллелограмма, α – угол между ними.
    • если основание шестиугольник, то разбейте его на треугольники (каждый из них будет равносторонним), найдите площадь любого треугольника по подходящей формуле, а затем сложите результаты. 
    • если основание круг, то S=πr2.
    • если основание более сложная фигура, то разбейте ее на простые фигуры, найдите площадь каждой и сложите результаты.

4. Не забывайте, что в стереометрических задачах применяются и формулы планиметрии, поэтому для успешного выполнения этого задания, обязательно нужно выучить или повторить правила для задания № 3.

[collapse]
Правила по теме "Куб"

Правила по теме “Куб”.

1. Куб – многогранник, у которого все ребра равны.

2. Объем куба V=a³. Также, V=Sоснования•h, где h – высота куба, Sоснования – площадь квадрата.

3. Площадь боковой поверхности куба S=4a².

4. Площадь полной поверхности куба S=6a².

5. Все грани куба это квадраты.

6. Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны, все углы равны 90º.

7. У куба 6 граней, 8 вершин, 12 ребер.

8. Диагональ грани куба находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются ребра куба. Диагональ грани куба = a√2.

9. Диагональ куба находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются ребро куба и диагональ грани (любой). Диагональ куба = а√3.

10. Куб является призмой.

11. Если сторону куба увеличить (уменьшить) в n раз, то

  • площадь его боковой и полной поверхности увеличится (уменьшится) в n2 раз;
  • объем увеличится (уменьшится) в n3 раз .

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Куб"

Образцы решения заданий по теме “Куб”

  1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 4 раза?
    • Решение: 
      • формула площади поверхности куба: S=6a², то есть площадь поверхности куба пропорциональна квадрату его стороны;
      • если сторона увеличилась в 4 раза, то площадь поверхности увеличилась в 42=16.
    • Ответ: в 16 раз.
  2. Объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 47. Найдите объем куба.
    • Решение:
      • сразу делаю чертеж:
      • любую фигуру можно разбить на множество маленьких фигур, тогда объем большой фигуры будет состоять из суммы объемов маленьких фигур;
      • вижу по чертежу, что таких призм поместилось ровно 8, то есть Vкуба =8•47=376;
    • Ответ: 376.

[collapse]
Правила по теме "Параллелепипед"

Правила по теме “Параллелепипед (прямоугольный)”

  1. Параллелепипед  – многогранник, у которого 6 граней, 8 вершин, 12 ребер.
  2. Объем параллелепипеда V=a•b•c, где а- ширина, b – длина, с – высота параллелепипеда. Также, V=Sоснования•h, где h – высота параллелепипеда, Sоснования – площадь прямоугольника.
  3. Площадь боковой поверхности параллелепипеда S=2•a•с+2•b•c.
  4. Площадь полной поверхности параллелепипеда S=2•a•с+2•b•c+2•a•b.
  5. Все грани куба это прямоугольники.
  6. Прямоугольник – четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны, все углы равны 90º.
  7. Диагональ грани параллелепипеда находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются ребра параллелепипеда. 
  8. Диагональ параллелепипеда находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются ребро параллелепипеда и диагональ грани. 
  9. Параллелепипед является призмой.

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Параллелепипед"

Образцы решения заданий по теме “Параллелепипед”

1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, A1, прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1, у которого АВ=5, AD=6, AA1 = 2.

    • Решение:
      • сразу делаю чертеж:
      • вижу по чертежу, что заданная фигура – это пирамида, ребра которой совпадают с ребрами параллелепипеда;
      • пирамида имеет объем V= Sосн.•h:3, где h-высота пирамиды; S- площадь основания, основанием является прямоугольный треугольник;
      •  Sтреуг. =a•b/2, Sтреуг. =5•6/2=15;
      • Vпирам.=(1/3)•2•15=10;
    • Ответ: 10.

2. В прямоугольной параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 известны длины ребер АВ=3, AD=4, AA1 =32 . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины С, С1 и А.

    • Решение:
      • сразу делаю чертеж;
      • вижу, что сечением будет прямоугольник АСС1 А1 ;
      • площадь прямоугольника S=AC•АА1;
      • нужно узнать сторону АС, использую теорему Пифагора для треугольника ACD: АС²=3²+4², АС=5;
      • S=АА1•АС =5•32=160;
    • Ответ: 160.

[collapse]
Правила по теме "Призма"

Правила по теме “Призма (прямая)”

1. Призма – многогранник, у которого верхняя и нижняя грани равны и параллельны.

2. Объем призмы V=Sоснования•h, где h – высота призмы, Sоснования – площадь фигуры, лежащей в основании.

3. В основании призмы может лежать абсолютно любая фигура: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, треугольник (любой), шестиугольник и т.д.

4. Боковыми гранями призмы являются прямоугольники. Они могут быть равными, могут быть разными.

5. Площадь боковой поверхности призмы S=Sпрямоуг.1 + Sпрямоуг.2 +….

6. Площадь полной поверхности призмы S=S боковой поверхности +2Sоснования .

7. Диагональ грани призмы находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются ребро призмы и сторона основания.

8. У правильной призмы в основании лежит правильная фигура: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Призма"

Образцы решения по теме “Призма”

1. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

    • Решение:
      • боковая поверхность треугольной призмы состоит из 3-х прямоугольников;
      • площадь прямоугольника пропорциональна каждой его стороне;
      • ребра оснований отсеченной призмы в два раза меньше ребер основания первоначальной призмы, а высоты этих призм одинаковы;
      • площади каждой боковой грани отсеченной призмы в два раза меньше площадей боковых граней первоначальной призмы, значит, сумма этих площадей также в два раза меньше;
      • 75:2=37,5;
    • Ответ: 37,5.

2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

    • Решение:
      • сразу делаю чертеж;
      • по чертежу вижу, что искомый многоугольник это пирамида;
      • объем пирамиды V=1/3•Sоснования •h,  V=1/3•7•6=14;
    • Ответ: 14.

3. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

    • Решение:
      • сразу делаю чертеж;
      • чтобы показать угол между диагональю призмы и основанием, проведу в основании диагональ; 
      • вижу, что диагонали призмы, основания и ребро призмы образуют прямоугольный треугольник, в котором ребро призмы лежит напротив угла 30°, поэтому диагональ призмы в два раза больше ребра: 3•2=6;
    • Ответ: 6.

[collapse]
Правила по теме "Цилиндр"

Правила по теме “Цилиндр”

1. Цилиндр – фигура вращения, у которой верхняя и нижняя грани равны и параллельны.

2. У цилиндра нет вершин и ребер.

3. У цилиндра два основания.

4. В основании цилиндра лежать круги.

5. Если боковую часть цилиндра разрезать и развернуть, то получится прямоугольник, ширина которого равна высоте цилиндра, а длина равна длине окружности.

6. Длина окружности = 2πr, площадь круга (площадь одного основания цилиндра) = πr².

7. Объем цилиндра V=Sоснования•h, где h – высота цилиндра, Sоснования – площадь круга, лежащего в основании. Или V=πr²h.

8. Площадь боковой поверхности цилиндра S=2πr•h.

9. Площадь полной поверхности цилиндра S=2πr•h+2πr².

10. Ось симметрии цилиндра является его высотой.

11. Вертикальная линия, перпендикулярная основанию и проходящая по боковой поверхности цилиндра, называется образующей. Она равна высоте цилиндра.

12. Диагональ цилиндра находят по теореме Пифагора, в которой катетами являются диаметр основания и высота (образующая) цилиндра.

13. Диаметр круга равен двум радиусам. Радиус круга равен половине диаметра.

14. Во сколько раз увеличивается радиус, во столько же раз увеличивается диаметр.

15. Во сколько раз увеличилась высота цилиндра во столько же раз увеличился его объем.

16. Объем цилиндра зависит от квадрата радиуса.

[collapse]
Образцы решения по теме "Цилиндр"

Образцы решения по теме “Цилиндр”

1. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 196 см. На какой высоте будет находится уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

    • Решение:
      • если сосуд стал шире, то уровень жидкости станет ниже;
      • высота уменьшится во столько же раз, во сколько увеличится r²;
      • r²=7²=49;
      • 196/49=4;
    • Ответ: 4.

2. В цилиндрический сосуд налили 2800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите см³.

    • Решение:
      • объем детали равен разности между новым объемом жидкости и старым;
      • во сколько раз увеличилась высота, во столько же раз увеличился объем;
      • новая высота 16+13=29, то есть высота увеличилась в 29/16 раз;
      • новый объем 2800•29/16=5 075;
      • разница объемов 5 075-2 800=2 275;
    • Ответ: 2275.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра.

    • Решение:
      • площадь боковой поверхности цилиндра S=2πr•h;
      • радиус основания цилиндра равен половине диаметра, то есть 6/2=3;
      • h=S/2πr=12π/2π•3=2;
    • Ответ: 2.

4. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

    • Решение:
      • представим для себя, что объем первой кружки 1;
      • объем прямо пропорционален высоте, так как высота высота второй кружки в два раза ниже первой, то и объем ее должен быть в два раза меньше;
      • объем пропорционален квадрату радиуса, так как радиус второй кружки в три раза больше, чем первой, то ее объем должен быть в (3)2=9 раз больше;
      • то есть объем первой кружки нужно разделить на 2 и умножить на 9, получим 1:2•9=4,5;
    • Ответ: 4,5.

[collapse]
Правила по теме "Пирамида"

Правила по теме “Пирамида”

1. Пирамида – многогранник, у которой у которого только одно основание.

2. В основании пирамиды могут лежать разные фигуры: треугольники, четырехугольники, шестиугольники и т.д.

3. Боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников.

4. Площадь треугольника S=1/2•a•h, где h – высота треугольника, а – сторона треугольника, к которой проведена высота; S=1/2•a•b•sinα, где а и b – стороны треугольника, α – угол между ними.

5. Объем пирамиды V=Sоснования•H, где H – высота пирамиды.

6. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей треугольников, из которых состоит боковая поверхность.

7. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.

8. Правильная пирамида – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат и т.д.).

[collapse]
Образцы решения по теме "Пирамида"

Образцы решения по теме “Пирамида”

1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 90, боковые ребра равны 205. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

    • Решение:
      • делаю чертеж:
      • Sтреуг.=1/2ah, а – основание 90 по условию, h – найдем, используя теорему Пифагора;
      • так как треугольник равнобедренный, то h делит основание пополам;
      • Sтреуг. =1/2•90•200=9000;
      • так как треугольников всего 6, то Sпир. =9000•6=54000;
    • Ответ: 54000.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка Р – середина ребра АВ, S – вершина. Известно, что SP =4, а площадь боковой поверхности равна 24. Найдите длину отрезка BC.

      • Нужно знать правила:
        • площадь боковой поверхности пирамиды;
        • площадь треугольника;
        • свойства правильной треугольной пирамиды;
      • Решение:
        • сразу делаю чертеж;
        • боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из 3-х одинаковых треугольников, если площадь боковой поверхности всей пирамиды по условию 24, то площадь одного треугольника 24:3=8;
        • Sтреуг.=ah/2, а – основание треугольника, h – его высота, то есть 8=а•4/2, а=4;
        • Ответ: 4.

3. Ребра правильного тетраэдра равны 14. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • тетраэдр – это пирамида, в основании которой лежит треугольник;
        • у правильного тетраэдра грани являются правильными треугольниками;
        • определение и свойства средней линии;
        • формула площади квадрата;
      • Решение:
        • так как сечение проходит через середины сторон треугольников, то АВ, СD, BC, AD являются средними линиями, а значит равны половине оснований 14/2=7;
        • для решения этой задачи в легкой части не требуется доказательство следующего шага: сечение имеет форму квадрата, площадь квадрата равна 72=49;
        • Ответ: 49.

4. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • формула объема пирамиды;
        • у правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат;
        • теорема Пифагора;
        • формула площади квадрата;
      • Решение:
        • по чертежу вижу, что половина диагонали квадрата, ребро и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник;
        • с помощью теоремы Пифагора запишем уравнение х2+2²=5², то есть х=√21;
        • диагональ квадрата равна 2•√21;
        • диагональ квадрата и стороны квадрата образуют прямоугольный треугольник;
        • с помощью теоремы Пифагора запишем уравнение а2+а²=(2√21)², то есть а²=42 (это и есть площадь основания-квадрата);
        • V=1/3•Sосн.•h =1/3•42•2=28;
      • Ответ: 28.

5. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SD=41, BD=18. Найдите длину отрезка SO.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • формула объема пирамиды;
        • у правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат;
        • теорема Пифагора;
      • Решение:
        • SO – высота пирамиды;
        • по чертежу видно, что половина диагонали квадрата, высота и ребро пирамиды образуют прямоугольный треугольник;
        • половина диагонали квадрата 18/2=9;
        • с помощью теоремы Пифагора запишем уравнение 9²+х²=41², то есть х=40;
      • Ответ: 40.

6. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • у правильной шестиугольной пирамиды в основании лежит правильный шестиугольник, стороны которого равны половине диагоналей;
        • теорема Пифагора;
      • Решение:
        • SO – высота;
        • половина диагонали равна 2,5;
        • по чертежу вижу, что половина диагонали, высота и ребро пирамиды образуют прямоугольный треугольник;
        • с помощью теоремы Пифагора запишем уравнение 2,5²+х²=6,5², то есть х=6;
      • Ответ: 6.

7. Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • формула объема пирамиды;
        • объем пирамиды прямо пропорционален высоте;
        • объем пирамиды прямо пропорционален площади основания;
      • Решение:
        • V=1/3•S•h;
        • по чертежу вижу, что высоты полной пирамиды и отсеченной пирамиды одинаковы”, то есть объемы пирамид отличаются только потому, что отличаются их основания;
        • коэффициент подобия треугольников в основании равен 2;
        • площадь основания отсеченной пирамиды меньше площади основания полной пирамиды в 4 раза;
        • площадь отсеченной пирамиды 78/4=19,5;
      • Ответ: 19,5.

8. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

      • Нужно знать правила:
        • сразу делаю чертеж;
        • формула объема пирамиды;
        • объем пирамиды прямо пропорционален высоте;
        • объем пирамиды прямо пропорционален площади основания;
      • Решение:
        • высоты пирамид отличаются в 2 раза, площади основания также отличаются в 2 раза;
        • таким образом, объемы отличаются в 2•2=4 раза;
        • объем меньшей пирамиды 116/4=29;
      • Ответ: 29.

[collapse]
Правила по теме "Конус"

Правила по теме “Конус”

1. Образующей конуса l называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

2. Длина образующей l (через теорему Пифагора): l2 = R2 + H2

3. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

4. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

5. Объемы всех конусов  V= Sосн.•h:3, где Sосн. – площадь основания; h – высота.

6. Площади боковой поверхности всех конусов: Sбок.пов.=πrl, где r – радиус основания, l – длина образующей.

7. Площадь полной поверхности у конуса находится как сумма площади боковой поверхности и площади основания.

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Конусы"

Образцы решения заданий по теме “Конусы”

1. Высота конуса равна 30, а длина образующей – 34. Найдите диаметр основания конуса.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • диаметр равен удвоенному радиусу;
      • теорема Пифагора;
    • Решение:
      • высота конуса и образующая конуса являются катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника, пользуясь теоремой Пифагора, запишем 34²=30²+r², то есть r=16;
      • диаметр = 16•2=32;
      • Ответ: 32.

2. В сосуде, имеющим форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 54 мл. Сколько миллиметров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • объем пропорционален кубу высоты;
    • Решение:
      • если жидкость достигает 1/2 высоты, то она занимает (1/2)³ всего объема, то есть 1/8;
      • известно, то объем жидкости равен 54 мл, если 1/8 составляет 54 мл, то полный объем в 8 раз больше, то есть 54•8=432;
      • если полный объем 432, и уже заполнено 54, то осталось заполнить 432-54=378;
        • Ответ: 378.

3. Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 70. Найдите длину образующей конуса.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • образующая, высота, радиус конуса образуют прямоугольный треугольник (видно по чертежу);
      • теорема Пифагора;
      • радиус равен половине диаметра;
    • Решение:
      • радиус равен 70/2=35;
      • по теореме Пифагора составляем уравнение (12)2+(35)2=L2, L=37;
      • Ответ: 37.

4. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту оставить прежней?

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула объема конуса;
      • объем конуса прямо пропорционален квадрату радиуса;
    • Решение:
      • если радиус увеличился в 8 раз, то объем увеличился в (8)2=64 раза;
      • Ответ: 64.

5. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия;
      • как найти коэффициент подобия;
    • Решение:
      • вся высота состоит из 3+2=5 частей;
      • коэффициент подобия 3/5, то есть площади отличаются в (3/5)2=9/25;
      • 35•9/25=12,6;
      • Ответ: 12,6.

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Шар

Образцы решения по теме “Шар”

1. Бетонный шар весит 0,5 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона?

    • Нужно знать правила:
      • чем больше объем предмета, тем больше его масса (при одинаковой плотности);
      • объем шара пропорционален кубу его радиуса;
    • Решение:
      • радиус увеличился в два раза, то есть объем шара увеличился в 23 раз, то есть в 8;
      • масса больше во столько же раз, во сколько раз увеличился объем 0,5•8=4;
      • Ответ: 4.

2. Площадь поверхности шара равна 8. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через центр шара.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула площадь поверхности шара;
      • формула площади круга;
    • Решение:
      • Sшара =4πr2 ; Sкруга =πr2 ;
      • то есть площадь круга в 4 раза меньше площади поверхности шара, 8/4=2;
      • Ответ: 2.

3. Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула площадь поверхности шара;
    • Решение:
      • Sшара =4πr2 ;
      • S1 =4π•81=324π; S2 =4π•144=576π; Sобщ. =324π+576π=900π;
      • 900π=4πR2, то есть R2=225, R=15;
      • Ответ: 15.

[collapse]
Образцы решения заданий по теме "Вписанные фигуры"

Образцы решения заданий по теме “Вписанные фигуры”

1. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 30. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула площади поверхности шара;
      • формула площади полной поверхности цилиндра;
      • если шар вписан в цилиндр, то высота цилиндра равна двум радиусам шара (это видно по чертежу);
      • если шар вписан в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара;
    • Решение:
      • Sшара=4πr2=30 (по условию), то есть πr2=7,5;
      • Sполн.цилиндр=2πr2+2πrh, так как h=2r, то Sполн.цилиндр=2πr2+2πr•2r=2πr2+4πr2=6πr2=6•7,5=45;
    • Ответ: 45.

2. Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула объема параллелепипеда;
      • если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то высота цилиндра равна стороне параллелепипеда (это видно по чертежу);
      • если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то в основании параллелепипеда лежит квадрат, а его сторона равна двум радиусам основания цилиндра (это видно по чертежу);
    • Решение:
      • Vп.п.=a•b•c=a2•h=(2r) 2•h=4hr 2=4•2•4=32;
    • Ответ: 32.

3. Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Объем конуса равен 21. Найдите объем цилиндра.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса с таким же основанием и высотой;
    • Решение:
      •  Vцилиндра=21•3=63;
    • Ответ: 63.

4. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула площади боковой поверхности конуса;
      • формула площади боковой поверхности цилиндра;
    • Решение:
      • Sконуса=2πr•L, где L – образующая конуса;
      • образующая конуса, высота конуса и радиус основания составляют прямоугольный треугольник, у которого катеты равны (так как по условию высота цилиндра равна радиусу основания);
      • по теореме Пифагора составляем уравнение: r2+r2=(L)2, L=r√2;
      • Sконуса=2πr•L=2πr•r√2=2√2πr2 =3√2, то есть πr2=3/2
      • Sцилиндра=2πr•h=2πr•r=2πr2 =2•3/2=3;
    • Ответ: 3.

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула объема цилиндра;
      • формула площади боковой поверхности цилиндра;
    • Решение:
      • V=S•h=πr2•h;
      • высота цилиндра известна, а радиус основания цилиндра равен половине гипотенузы треугольника, лежащего в основании;
      • по теореме Пифагора составим уравнение 102+92=(2r)2, r2 =181/4;
      • V=π•181/4•2/π=90,5;
      • Ответ:90,5.

6. Объем параллелепипеда равен 3. Найдите объем треугольной призмы, вписанной в него.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • объем пирамиды, вписанной в параллелепипед таким образом, в три раза меньше объема параллелепипеда;
    • Решение:
      •  Vпирамиды=3:3=1;
    • Ответ: 1.

7. Шар, объем которого равен 14π, вписан в куб. Найдите объем куба.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула объема шара;
      • формула объема куба;
    • Решение:
      •  по чертежу вижу, что сторона куба равна 2r, где r – радиус шара;
      • Vкуба3, где а – сторона куба, то есть Vкуба=(2r)3=8r;
      • шар, то есть ( по условию), отсюда, r3=10,5.
      • Vкуба=8r3=8•10,5=84.
    • Ответ: 84.

8. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 6√2. Найдите радиус сферы.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • теорема Пифагора;
    • Решение:
      •  провожу высоту конуса, радиус шара;
      • вижу, что образовался прямоугольный треугольник, в котором катеты равны (так как радиус шара и высота конуса равны), а образующая конуса является гипотенузой;
      • используя теорему Пифагора, составляю уравнение r2+r2=(6√2)2;
      • r=6;
      • Ответ: 6.

9. Конус вписан в шар (см. рисунок прошлой задачи). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 39. Найдите объём шара.

    • Нужно знать правила:
      • сразу делаю чертеж;
      • формула объема конуса;
      • формула объема шара;
    • Решение:
      • объем шара в 4 раза больше объема конуса, 39•4=156;
      • Ответ: 156.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

1. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 6, 5. Найдите площадь его поверхности.

2. Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 2 раза, а радиус основания останется прежним?

4. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 8 раз, а радиус основания увеличится в 2 раза?

5. Длина окружности основания цилиндра равна 8, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем цилиндра равен 300. Найдите объем конуса.

7. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?

8. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите ее объем.

9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранн

10. Куб описан около сферы радиуса 4. Найдите объем куба.

11. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. В воду полностью погрузили деталь объемом 1500 см3, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Какой уровень воды в сантиметрах был до погружения детали?

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2.

13. В сосуд, имеющий форму правильной четырехугольной призмы, налили 2500 см3 воды и полностью погрузили в нее деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 25 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

14. Площадь поверхности куба равна 162. Найдите его диагональ.

15. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9. Найдите площадь поверхности шара.

16. Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

17. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 12 и 16, и боковым ребром, равным 12.

18. Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами, равными 2 и 6, и боковым ребром, равным 8.

19. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

20. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

21. Дано два шара. Радиус первого шара в 5 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

22. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

23. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем цилиндра равен 180. Найдите объем конуса.

24. Диагональ куба равна картинка. Найдите его объем.

25. В куб вписана сфера радиусом 4. Найдите площадь поверхности куба.

26. В куб вписана сфера радиусом картинка. Найдите диагональ куба.

27. В прямоугольный параллелепипед вписана сфера радиусом 5. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. 

28. В прямую правильную четырехугольную призму вписана сфера радиусом 5. Найдите объем призмы.

29. Площадь основания конуса равна 16π, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса. 

30. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 50. Найдите объем цилиндра.

31. Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 15. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

32. Высота конуса равна 12, а длина образующей равна 15. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

33. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB=24, AD=10, CC1=22. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, C и C1.

34. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 56картинка. Найдите образующую конуса.

35. Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

36. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 8π, а высота равна 4. Найдите диаметр основания.

37. Длина окружности основания цилиндра равна 6. Площадь боковой поверхности равна 36. Найдите высоту цилиндра.

38. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 5.

39. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен 4картинка.

40. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота и радиус основания уменьшатся в два раза?

41. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 4.

42. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 24 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
43. Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

44. Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 24. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в четыре раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

45. Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведена секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды. Полученное сечение является основанием для меньшей пирамиды. Найти ее объем, если объем большой пирамиды равен 72.

46. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

47. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 48. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

48. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем этой призмы, если объем отсеченной треугольной призмы равен 8.

49. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 3 раза, а высота уменьшится в полтора раза?

50. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 2 раза, а радиус основания останется прежним?

51. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из кубов с ребром 2.

52. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=6, AD=3, CC1=4.

53. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

54. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=5, AD=6, CC1=2.

55. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 99. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

56. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 210 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

57. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.

58. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6картинка . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

59. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1=15, а диагональ BD1=17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C.

60. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Боковые ребра призмы равны 4/π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

61. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его площадь поверхности увеличится на 48 см2 . Найдите ребро куба. Ответ дайте в см.

62. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

63. Ребра правильного тетраэдра равны 4. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

64. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

65. Объем правильной шестиугольной пирамиды 12. Сторона основания равна 2. Найдите боковое ребро.

66. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 112. Найдите объем конуса.

67. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 24. Точка E делит ребро SD в отношении 2∶3 считая от вершины S. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

68. От треугольной пирамиды, объем которой равен 24, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

[collapse]