ЕГЭ-математика-профиль-задание 3

Обучение онлайн!

Задание 3

 – ЕГЭ – профиль-

Задание № 3. Задачи по планиметрии (фигуры на плоскости)

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения – 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.

Чтобы решать правильно это задание много сил и нервов тратить не нужно. Весь необходимый материал уже изучен в средней школе, ничего нового в 10-11 классе не добавляется.

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!

2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Это нужно учить все? Это же много! Да, учить абсолютно все. Конечно, лучше это было сделать в 7-9 классов, но если тогда не хватило времени, то придется найти его сейчас.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Оглавление

Алгоритм решения всех типов задач задания 3

Алгоритм

1. Сделайте чертеж. Покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.

    • Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: “Я и так умный, мне чертить не надо” – не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.

2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными. 

    • Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.

3. Подберите фигуру (или элемент фигуры),  о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.

4. Если на вопрос ответ пока не получен, то  кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.

    • Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
    • Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. “Не лейте воду!” Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами “ну, эта штука”.  Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.

5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения

  1. в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
  2. в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
  3. в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
  4. в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.

6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.

7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.

8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!

[collapse]

Правила

– учим –

-не читаем! не смотрим! учим!-

  • Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.

Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).

Какие бывают фигуры

Учим фигуры:

1. Линии:

  1. Прямая – линия, у которой нет ни начала, ни конца. Они бесконечные.
  2. Отрезок – часть прямой, у которой есть границы, есть начало и конец.
  3. Луч – часть прямой, у которой есть граница только с одной стороны, есть начало, но нет конца.
  4. Параллельные прямые – прямые, которые никогда не пересекаются.
  5. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
  6. Ломаная линия  может быть разбита на отдельные отрезки.
  7. Окружность – линия, точки которой удалены от центра на одно и то же расстояние. Круг – это НЕ окружность.
  8. Круг – пространство внутри окружности.

2. Угол.

Угол – это пространство между двумя лучами, выходящими из одной точки. Угол – это НЕ точка, НЕ вершина, НЕ линия.

  1. Развернутый угол – образуют два луча, лежащие на одной прямой. 
  2. Прямой угол равен 90 градусов.
  3. Острые углы (все) – меньше 90 градусов.
  4. Тупые углы (все) – больше 90 градусов.
  5. Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми, “смотрят друг на друга носиками”, находятся друг напротив друга.
  6. Смежные углы: одна сторона общая, две другие стороны образуют прямую линию.
  7. Накрест лежащие углы образованы двумя прямыми и секущей, лежат по разные стороны от секущей.
  8. Внутренние углы образованы двумя прямыми и секущей, лежат с одной стороны от секущей.
  9. Внутренние углы треугольника лежат внутри треугольника.
  10. Внешние углы треугольника лежат вне треугольника на продолжении сторон треугольника.
  11. Соответственные углы образованы двумя прямыми и секущей.
  12. Центральные углы: вершина угла лежит в центре окружности.
  13. Вписанные углы: вершина угла лежит на окружности.

3. Части сложных фигур

Каждую фигуру нужно уметь разложить на части, это поможет понять, какими правилами можно воспользоваться при решении задачи.

  1. сторона – отрезок между вершинами фигуры;
  2. биссектриса – луч, проведенный из вершины угла;
  3. медиана – отрезок, проведенный из вершины угла к середине противолежащей стороны;
  4. высота, перпендикуляр – отрезок, проведенный к прямой (другому отрезку, лучу) под углом 90 градусов; высота (перпендикуляр) могут выходить как из вершины угла, так и из любой точки, лежащей на плоскости;
  5. радиус – отрезок, соединяющий центр окружности и точку на этой же окружности;
  6. диаметр – отрезок, соединяющий точки окружности и проходящий через центр окружности;
  7. секущая – прямая или луч, пересекающие фигуру;
  8. хорда – отрезок, соединяющий точки окружности;
  9. средняя линия – линия, проведенная через середины сторон фигуры;
  10. вершина – точка, в которой пересекаются стороны фигуры;

4. Треугольник

  1. Разносторонние треугольники: все стороны имеют разную длину.
  2. Равнобедренные треугольники: две стороны равны, не боковые, а именно две! Третья сторона называется основанием, не та, что лежит внизу, а та, что не равна другим.
  3. Равносторонние треугольники: все (три) стороны равны.
  4. Прямоугольный треугольник: один из углов равен 90 градусов (только один, все остальные меньше 90 градусов).
  5. Остроугольный треугольник: все (три) углы меньше 90 градусов.
  6. Тупоугольный треугольник: один из углов больше 90 градусов.
  7. Вписанный треугольник: все (три) вершины лежат на одной окружности.
  8. Окружность вписана в треугольник: окружность касается всех (трех) сторон треугольника.

4. Четырехугольник

  1. Произвольные – фигура из четырех сторон и четырех углов.
  2. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
  3. Квадрат – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, все стороны равны; все углы равны 90 градусов.
  4. Прямоугольник – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, равны; все углы равны 90 градусов.
  5. Ромб – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, все стороны равны.
  6. Трапеция – четырехугольник, у которого только две стороны параллельны друг другу. Их называют основаниями. Они не обязательно должны лежать вверху и внизу, они могут быть по бокам.
  7. Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
  8. Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой один из углов 90 градусов.
  9. Вписанный четырехугольник (окружность снаружи): все (четыре) вершины лежат на одной окружности.
  10. Окружность вписана в четырехугольник: окружность касается всех (четырех) сторон четырехугольника.

4. Окружность

  1. Вписанная окружность находится внутри фигуры и касается всех ее сторон.
  2. Описанная окружность находится снаружи фигуры и проходит через все ее вершины.
  3. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
  4. Касающиеся окружности имеют одну общую точку.

[collapse]
Свойства углов

Свойства углов

  1. Вертикальные углы равны.
  2. Смежные углы в сумме равны 180º.
  3. Сумма углов в любом треугольнике равна 180º.
  4. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним углов.
  5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  6. Углы равностороннего треугольника равны 60º (все).
  7. Углы при основании равностороннего треугольника равны.
  8. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
  9. Односторонние углы при параллельных прямых в сумме равны 180º.
  10. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
  11. Соответственные углы при параллельных прямых равны.
  12. Противолежащие углы любого параллелограмма равны.
  13. Любые два соседних угла параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник) в сумме равны 180º.
  14. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
  15. Два угла при боковых сторонах трапеции в сумме равны 180º.
  16. Углы (соответствующие) в равных и подобных фигурах равны.
  17. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90º (всегда).
  18. Угол между радиусом и касательной к окружности равен 90º (всегда).
  19. Противолежащие углы описанного четырехугольника  в сумме равны 180º.
  20. Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну дугу. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  21. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу.

[collapse]
Свойства частей фигур

Свойства частей фигур

  1. Высота равнобедренного и равностороннего треугольников является также медианой и биссектрисой.
  2. Высота равнобедренного и равностороннего треугольников разбивает их на два равных прямоугольных треугольника.
  3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из его прямого угла, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
  4. Высота тупоугольного треугольника может выходить за пределы треугольника (к продолжению его стороны).
  5. Биссектриса делит угол на две равные части.
  6. Все точки, лежащие на биссектрисе, равноудалены от сторон угла (или треугольника).
  7. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону, относятся друг к другу так же как стороны треугольника.
  8. В равнобедренном треугольнике только одна медиана является высотой и биссектрисой, она проводится к основанию.
  9. В равностороннем треугольнике все медианы являются высотами и биссектрисами.
  10. Медиана любого треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (треугольники с равными площадями).
  11. Медиана любого треугольника всегда находится внутри треугольника.
  12. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  13. Точка пересечения медиан любого треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
  14. Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром и описанной и вписанной окружности.
  15. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

        \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}; r=\frac{h}{3}\]

     

  16. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника:

        \[ r= \frac{a\sqrt{3}}{3}; r=\frac{2h}{3}\]

  17. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
  18. Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон.
  19. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  20. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, в котором равен а, b – катеты, с – гипотенуза

        \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

     

  21. Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, где а – сторона, лежащая напротив угла А:

        \[r= \frac{a}{2sinA}\]

     

  22. Радиус равен половине диаметра.
  23. Если секущие АР (М и Р – точки пересечения) и АС (В и С – точки пересечения) проведены из одной точки, то АМ•АР=АВ•АС.
  24. Если секущие окружности АВ и СМ пересекаются в точке Р, то АР•РВ=СР•РМ.
  25. Если касательные к окружности проведены из одной точки, то расстояния от этой точки до точек касания одинаковы.
  26. Если из одной точки А проведены и касательная АВ (В – точка касания) и секущая АМ (которая пересекает окружность в точках Р и М), то АВ2=АР•АМ.
  27. Средняя линия треугольника и трапеции параллельна основаниям.
  28. Средняя линия треугольника равна половине основания.
  29. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
  30. Суммы противолежащих сторон трапеции, в которую вписана окружность, равны.

[collapse]
Свойства треугольников

Свойства треугольников

  1. Прямоугольные треугольники
    • cамая длинная сторона называется гипотенузой. Она всегда лежит напротив угла 90º, две другие стороны называются катетами;
    • косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
    • cинус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
    • тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

     

  2. Формулы площадей треугольников:

        \[ S=\frac{ah}{2}; S=\frac{ab}{2}; S=absin\angle C; S=pr; S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

        \[S=\frac{abc}{4R}; S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\]

     

    • a,b, – стороны треугольника; h – высота треугольника, ∠C – угол между сторонами треугольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; p – полупериметр треугольника.
  3. Площади одного и того же треугольника, найденные разными способами, равны.
  4. Cредняя линия треугольника равна половине стороны треугольника, которой параллельна.
  5. Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.
  6. Все медианы равностороннего треугольника являются и высотами, и биссектрисами.
  7. Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром и вписанной и описанной окружности.
  8. Только одна медиана равнобедренного треугольника является высотой и биссектрисой, она проведена к основанию.
  9. Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180º.
  10. Углы при основании равнобедренного треугольника (основание – это сторона, не равная другим сторонам, а не лежащая внизу).
  11. Углы равностороннего треугольника равны 60º.
  12. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
  13. Признаки равенства треугольников:
    • если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
    • если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
    • если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  14. В равных треугольниках все соответствующие углы и стороны равны.
  15. Площади равных треугольников равны.
  16. Признаки подобия треугольников:
    • если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
    • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны;
    • если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  17. Чтобы найти коэффициент подобия нужно разделить сторону одного треугольника на соответствующую сторону другого треугольника.
  18. Площади подобных треугольников относятся друг к другу как коэффициент подобия в квадрате.
  19. Теорема косинусов a2=b2+c2-2bccos ∠A, где а, в, с – стороны треугольника, ∠ А – угол напротив стороны а.
  20. Теорем синусов

        \[ \frac{a}{sin\angle A}=\frac{b}{sin\angle B}=\frac{c}{sin\angle C}\]

  21. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

        \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}; r=\frac{h}{3}\]

     

  22. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника:

        \[ r= \frac{a\sqrt{3}}{3}; r=\frac{2h}{3}\]

     

  23. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (а, b – катеты, с – гипотенуза), равен

        \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

      

  24. Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника (а – сторона, лежащая напротив угла α):

        \[r= \frac{a}{2sinA}\]

      

  25. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

[collapse]
Свойства параллелограммов

Свойства параллелограмма

  1. Площадь параллелограмма: S=ah, S=absinβ, S=a2, S=ab, S=ad, S=2ar

        \[S=\frac{d_{1}d_{2}sin\gamma}{2}\]

    • a,b – смежные стороны параллелограмма; h – высота параллелограмма; d1,d2 – диагонали параллелограмма; d – диаметр окружности, вписанной в параллелограмм; r – радиус окружности, вписанной в параллелограмм; β – угол между сторонами; γ – угол между диагоналями параллелограмма;
  2. В параллелограмм можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны.
  3. В параллелограмме противолежащие углы и стороны равны.
  4. Сумма любых соседних углов параллелограмма 180º.
  5. Сумма углов параллелограмма 360º.
  6. Диагонали параллелограмма пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам.
  7. Ромб – это параллелограмм, все свойства параллелограмма распространяются и ромб.
  8. Все стороны ромба равны.
  9. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
  10. Две диагонали ромба делят его на 4 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых можно использовать правила для прямоугольных треугольников.
  11. Одна диагональ ромба (любая) делит его на два равнобедренных треугольника, в каждом из них можно применять правила для равнобедренных треугольников.
  12. Диагонали ромба делят его углы пополам.
  13. Периметр ромба – сумма длин четырех сторон, умножьте одну сторону на 4. 
  14. Ромб является квадратом, если его угол (любой) равен 90º.
  15. Ромб является квадратом, если его диагонали равны.
  16. Квадрат и прямоугольник являются параллелограммом, поэтому все свойства параллелограммов распространяются на квадраты и прямоугольники.
  17. Все стороны и углы квадрата равны.

[collapse]
Свойства трапеций

Свойства трапеций

  1. У трапеции только две стороны параллельны – это основания. Это могут быть как верхняя и нижняя сторона, так и правая и левая.
  2. Свойствами параллелограммов пользоваться нельзя.
  3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
  4. Все высоты трапеции равны.
  5. Высоты равнобедренной трапеции делят ее на два равных прямоугольных треугольника (по бокам) и прямоугольник по центру.
  6. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180º.
  7. Диагонали трапеции образуют подобные треугольники при основаниях трапеции.
  8. Площадь:

        \[S=\frac{(a+b)h}{2}\]

  9. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
  10. Сумма углов трапеции 360º.

[collapse]
Свойства окружностей

Свойства окружностей

  1. Длина все окружности 360º.
  2. Длина окружности 2πr.
  3. Описанная окружность проходит через все вершины фигуры.
  4. Вписанная окружность касается всех сторон фигуры.
  5. Радиус окружности соединяет ее центр с точкой на окружности.
  6. Диаметр окружности соединяет две точки на окружности и проходит через центр.
  7. Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну дугу. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  8. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу.
  9. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

        \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}; r=\frac{h}{3}\]

     

  10. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника:

        \[ r= \frac{a\sqrt{3}}{3}; r=\frac{2h}{3}\]

  11. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
  12. Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон.
  13. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  14. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, в котором равен а, b – катеты, с – гипотенуза

        \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

     

  15. Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, где а – сторона, лежащая напротив угла А:

        \[r= \frac{a}{2sinA}\]

     

  16. Радиус равен половине диаметра.
  17. Если секущие АР (М и Р – точки пересечения) и АС (В и С – точки пересечения) проведены из одной точки, то АМ•АР=АВ•АС.
  18. Если секущие окружности АВ и СМ пересекаются в точке Р, то АР•РВ=СР•РМ.
  19. Если касательные к окружности проведены из одной точки, то расстояния от этой точки до точек касания одинаковы.
  20. Если из одной точки А проведены и касательная АВ (В – точка касания) и секущая АМ (которая пересекает окружность в точках Р и М), то АВ2=АР•АМ.

[collapse]
Свойства выпуклых многоугольников

Свойства выпуклых многоугольников

  1. Сумма углов любого многоугольника вычисляется по формуле: 180º(n-2).
  2. В правильном многоугольнике все углы и стороны равны.
  3. Чтобы найти один угол правильного многоугольника, нужно найти сумму всех углов и разделить на их количество.
  4. Параллелограмм, треугольник, ромб, квадрат, прямоугольник являются выпуклыми многоугольниками.

[collapse]
Тригонометрия

Тригонометрия

  1. основное тригонометрическое свойство: cos2a+sin2a=1
  2. тригонометрическая таблица:

3.

    \[  tgA=\frac{sinA}{cosB}; ctgA=\frac{cosA}{sinA}; tgA\cdot ctgA=1\]

[collapse]
Образцы решения

 Если Вы сами не смогли решить задачу, то ВЫУЧИТЕ представленное решение, а не просто просмотрите или спишите его.

1. В треугольнике АВС угол С равен 46º, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Наношу на чертеж все известное, обозначу вопрос задачи как х.

2 шаг. Вижу на чертеже треугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.

1.В треугольнике АВС больше всего известных: 

    • угол С = 46º;
    • AD и BE – биссектрисы, они делят ∠А и ∠В пополам, обозначу каждую половину ∠А – z; ∠B – y; то есть ∠А=2z, ∠B=2y;
    • могу найти сумму ∠А и ∠В по теореме о сумме углов в треугольнике: ∠A+∠B+∠C=180º, подставляю все известное: 2z+2y+46º=180º, то есть z+у=67º;
    • в этом треугольнике больше не могу ничего найти;
    • наношу дополнительную информацию на чертеж.

2. В треугольнике АОВ находится угол, который нужно найти:

    • сумма углов z и y равна 67º;
    • по теореме о сумме углов в треугольнике могу найти угол АОВ: ∠АОВ+∠ОАВ+∠ОВА=180º, подставляю все известное: ∠АОВ+67º=180º, то есть ∠АОВ=113º.

Ответ: 113.

2. В треугольнике АВС высота СН равна 6, АВ=ВС, АС=8. Найдите синус угла АСВ.

1 шаг. Наношу на чертеж все известное, вопрос задачи обозначить на чертеже не могу (тригонометрические функции на чертеже не обозначаются).

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу на чертеже треугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.

1.В треугольнике АВН больше всего известных: 

    • угол Н = 90º, то есть треугольник прямоугольный;
    • катет НС=6; гипотенуза АС=8;  (будет не нужен);
    • могу найти синус ∠А: sin ∠A = 6/8=0,75;
    • могу найти косинус и синус угла НСВ, катет АН, площадь треугольника и многое другое (все это будет не нужно, поэтому решение размещать не буду);
    • в этом треугольнике больше не могу ничего найти;
    • разместить дополнительную информацию на чертеже не могу (тригонометрические функции на чертеже не подписываются).

2. В треугольнике АВС знаю, что:

    • ∠А=∠АСВ, так как треугольник равнобедренный;
    • так как углы равны, то равны их синусы, а синус ∠А уже найден.

Ответ: 0,75.

3. В четырехугольнике АВСD вписана окружность, АВ=13, CD=18. Найдите периметр четырехугольника.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное, вопрос задачи на чертеже обозначить не могу (периметр на чертеже не обозначается).

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу на чертеже четырехугольник и окружность. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.

1.В четырехугольнике больше всего известных: 

      • в четырехугольник вписана окружность, значит, суммы противолежащих сторон этого четырехугольника равны: АВ+CD=ВС+DA, то есть ВС+DA=18+13=31;
      • периметр четырехугольника – это сумма всех его сторон:  АВ+ВС+CD+DA=P, то есть 31+31=62.

Ответ: 62.

4. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные СА и СВ. Угол САВ равен 39º. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу на чертеже треугольники и четырехугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.

1.В треугольнике ВСА больше всего известных: 

      • известен ∠САВ = 39º;
      • треугольник ВСА равнобедренный (так как касательные ВС и СА проведены из одной точки);
      • ∠САВ=∠СВА=39º (углы при основании равнобедренного треугольника равны);
      • ∠С=180º-39º-39º=102º (по теореме о сумме углов в треугольнике);

2. В четырехугольнике АСВО также много известных величин:

      • известен ∠С=102º;
      • ∠В=∠А=90º (углы, которые образованы касательными и радиусом);
      • ∠АОВ=360º-2•90º-102º=78º (сумма углов четырехугольника равна 360º).

Ответ: 78.

5. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 106º, угол CAD равен 69º. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.

      • в задаче идет речь только о вписанных углах, подпишем их значения между точками, на которые они опираются (это не имеет отношения величине дуги окружности между этими точками)

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу, что АС=АD+DC, то есть AD=AC-DC=106º-69º=37º.

Ответ: 37.

6. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол ВAD равен 127º. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу на чертеже четырехугольник. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.

      • ∠А=127º;
      • ∠С+∠А=180º (четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих улов равна 180º), то есть ∠С=180º-127º=53º.

Ответ: 53.

7. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точку D, равна 106º. Градусная мера дуги DE окружности, не содержащей точку А, равна 48º. Найдите угол АСB. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

Вижу на чертеже треугольник DAC. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.

        • ∠А=24º (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается);
        • внешний угол ΔDAC ∠BDA= 53º (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается);
        • ∠BDA=∠А+∠С (внешний угол треугольника), то есть ∠C=53º-24º=29º.

Ответ: 29.

8. Радиус окружности описанной около треугольника АВС равен 2√3. Найдите АВ, если угол АСВ равен 120º.

Чтобы найти сторону треугольник, если известен радиус окружности и угол напротив, то воспользуемся готовой формулой, дополнительных шагов не требуется: 

    \[r=\frac{AB}{2sin\angle C}; AB=2rsin\angle C\]

    \[AB=2\cdot 2\sqrt{3}sin120^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\]

Ответ: 6.

9. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

1 шаг. Для выполнения этой задачи чертеж не требуется, желающие могут его начертить самостоятельно.

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

  1.     \[S=\frac{a\cdot b}{2}\]

    • где а и в катеты треугольника;
  2. найдем недостающий катет по теореме Пифагора:

        \[b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}; b=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289-225}\sqrt{64}=8\]

  3. S=15•8:2=60/

Ответ: 60.

10. В треугольнике АВС средняя линия DE параллельна стороне АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АВЕD равна 48.

1 шаг. Чертеж уже дан, подписывать дополнительно ничего не надо.

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

1.Вижу на чертеже треугольник DCЕ. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.

        • ΔDCE∼ΔАСВ (по двум равным углам – соответственные углы при параллельных прямых), коэффициент подобия k= 2 (так как проведена средняя линия);
        • площадь ΔDCE в 4 раза меньше площади ΔАСВ (площади подобных фигур отличаются в k2 раз);

2.Трапеция ADEB:

        • если ΔDCE занимает 1 из 4 частей площади ΔАСВ, то трапеция занимает 3 части из 4;
        • если площадь 3х частей 48, то площадь одной части 48:3=16;
        • весь треугольник – 4 части, то есть площадь всего треугольника 16•4=64.

Ответ: 64.

11. Площадь параллелограмма равна 145. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого являются серединами сторон заданного параллелограмма.

1 шаг. Выполним чертеж:

  • разобьем внутренний параллелограмм на одинаковые треугольники, видим, что внутренний параллелограмм состоит из 4 одинаковых треугольников, а внешний из 8 таких же равных треугольников, значит, площади этих параллелограммов отличаются в 2 раза:

S=145:2=72,5

Ответ: 72,5.

12. Один из углов прямоугольного треугольника равен 66º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи. (почему именно угол В=66º? попробуйте решить эту задачу, если угол А равен 66º, и поймете)

2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

1.В треугольнике ВСН много известных:

        • ∠В=66º, ∠ВНС=90º (по условию);
        • ∠ВСН=90º-66º=24º (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º);

2.В треугольнике АВС много известных:

        • ∠С=90º (по условию);
        • ∠ВСD=45º (так как CD биссектриса прямого угла), кроме того по чертежу видно, что ∠ВСD=∠НСD+∠ВСН, то есть ∠ВСН=45º-24º=21º.

Ответ: 21.

13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 80º и 10º. Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

1шаг Нанесем на чертеж все известное:

2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

В Δ АМС много известных:

  • ∠ А=10º (по условию);
  • АМ=МС, так как МС – медиана, проведенная из прямого угла треугольника АВС; то есть ΔАСМ – равнобедренный, то есть ∠АСМ= ∠ А=10º ;

В ΔАВС много известных:

  • ∠С=90º (по условию);
  • ∠АСD=45º (так как CD – биссектриса);
  • ∠АСМ= 10º (уже найдено);
  • ∠МСD= 45º-10º= 35º.

3. Ответ: 35.

14. Основания трапеции равны 15 и 26. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

1 шаг Нанесем на чертеж все известное.

2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

  • в ΔADE есть известные величины:
      • АВ=26 (по условию);
      • ЕО-средняя линия треугольника (проходит через середины боковых сторон по условию);
      • ЕО=АВ/2=26/2=13 (по свойству средней линии).

3 шаг Ответ: 13.

15. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 41, отсекает треугольник, периметр которого равен 83. Найдите периметр трапеции.

1 шаг Нанесем на чертеж все известное.

2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?

  • в параллелограмме DCBE есть известные величины:
      • DC=EB=41 (по условию и свойству параллелограмма);
      • DE=CB (по свойству параллелограмма).
  • в ΔADE есть известные величины:
      • DE=СВ
      • P=83 (по условию); то есть я знаю сумму сторон AD, DE, AE или AD,CB, AE (этот набор сторон для нахождения периметра трапеции важнее, так как включает в себя только части трапеции).
  • в трапеции ABCD:
      • AE+AD+CB=83; DC+EB=82;
      • PABCD=83+82=165.

3 шаг Ответ: 165.

16. В треугольнике со сторонами 8 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Смотреть решение
[collapse]

1 шаг. Построение в данной задаче не требуется.

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

  • в треугольнике даны высота и сторона, такие термины встречаются в формуле нахождения площади треугольника; найду площадь: S=8•1:2=4;
  • теперь знаю площадь треугольника и другую сторону, с помощью той же самой формулы найду высоту: (1) 4=4•h:2, то есть h=2.

3 шаг. Ответ: 2.

17. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1 шаг. Выполняем чертеж, обозначаем на нем известное:

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

  • Вижу два треугольника ADH и BCE, они равны (так как трапеция по условию равнобедренная), то есть АН=ЕВ=9; следовательно НЕ=10-9=1;
  • Вижу прямоугольник НDСЕ, в нем DC=HE (по свойству прямоугольника), то есть DC=1;
  • Вижу трапецию ABCD: основание АВ=10+9=19;
  • Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (1+19)/2=10;

3 шаг. Ответ: 10.

18. Два угла треугольника равны 68º и 35º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из этих углов.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу ΔАВС, в нем многое известно:

  • ∠А=68º и ∠С=35º (по условию);
  • найдем угол В из треугольника АВС по теореме о сумме углов в треугольнике:

68º+35º+∠В=180º

∠В=77º

Вижу четырехугольник ОНВЕ, в нем многое известно:

  • ∠ВНО=90º и ∠ВЕО=90º (так как СН и АЕ высоты);
  • сумма углов в четырехугольнике 360º;
  • х=360º=90º+90º+77º+х, то есть х=103º.

3 шаг. Ответ: 103.

19. Найдите угол АСО, если его сторона АС касается окружности, отрезок ОС пересекает окружность в точке В, а дуга АВ, заключенная внутри этого угла, равна 17º. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Чертеж уже выполнен.

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу ΔАОС, в нем многое известно:

  • ∠ ОАС=90º, так как этот угол образован радиусом и касательной;
  • ∠ АОС=17º, так как опирается на дугу АС;
  • по теореме о сумме углов в треугольнике: 90º+17º+∠АСО=180º, то есть ∠АСО=73º.

Ответ: 73.

20. В треугольнике АВС известно, что АС=ВС, АВ=20, sinA=√5/3. Найдите длину стороны АС.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи (дополню чертеж высотой, так как синус угла А удобно рассматривать в прямоугольном треугольнике):

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу ΔАНС, в нем многое известно:

  • ∠АНС=90º (СН – высота);
  • АН=20:2=10 (СН – высота и медиана, по свойству равнобедренного треугольника);
  • sin2A+cos2A=1, то есть  cosA=2/3;
  • cosA=AH/AC, то есть АС=15.

3 шаг. Ответ: 15.

21. Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:

  • выполню дополнительные построения:
    • проведу радиусы (провожу радиусы так, чтобы получились полезные фигуры); (бессмысленный поступок: “проведу горизонтальные радиусы, потому что это удобно”);
    • проведу высоту трапеции (так, чтобы получились полезные фигуры);( бессмысленный поступок: “проведу высоту из вершин трапеции, потому что так мы делаем всегда”):

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу ΔАОВ, в нем многое известно:

  • ОА=ОВ – радиусы окружности, то есть треугольник равнобедренный;
  • ОН-высота и медиана, по свойству равнобедренного треугольника, то есть АН=НВ=10/2=5;

Вижу ΔАНО, в нем многое известно:

  • треугольник прямоугольный;
  • по теореме Пифагора, нахожу НО.

Вижу ΔDОC и ΔDОМ, в них выполняю те же самые шаги и нахожу ОМ.

3 шаг. HM=12+5=17.

4 шаг. Ответ: 17.

22. Найдите центральный угол, если он на 28º больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

1 шаг. Чертеж уже выполнен.

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу два угла:

  • вписанный и центральный, которые опираются на одну дугу;
  • центральный угол в два раза больше вписанного угол (по свойству) и центральный угол на 28 градусов больше вписанного угла (по условию); 
  • обозначу вписанный угол как х, тогда центральный угол 2х, а их разница 2х-х=28, то есть х=28;
  • центральный угол: 28º•2=56º.

Ответ: 56.

23. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину ее средней линии. 

1 шаг. Чертеж уже выполнен.

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу два угла:

  • окружность вписана в четырехугольник, значит, суммы противолежащих сторон равны, то есть сумма каждой пары сторон равна 28/2=14;

Вижу трапецию:

  • средняя линия равна полусумме оснсований, а полусумму мы уже нашли: 14:2=7.

Ответ: 7.

24. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ=82, tgA=4/5. Найдите высоту СН.

1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:

2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?

Вижу ΔАВС:

  • тангенс угла А=4/5, то есть СВ/АС=4/5 (по определению тангенса), то есть могу записать, что СВ=4х, АС=5х;
  • по теореме Пифагора: АС2+СВ2=АВ2, то есть 16х2+25х2=822, отсюда х=2√41, тогда АС=10√41 и СВ=8√41;
  • S=АС*СВ/2=10√41 *8√41/2=40•41, с другой стороны S=СН*АВ/2, то есть СН=40•41•2/82=40.

3 шаг. Ответ: 40.

[collapse]
Тренировочные задания (блок 1)

Тренировочные задания (блок 1)

  1. Треугольники
    1. В треугольнике ABC угол A равен 54°, стороны AC и BC равны. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
    2. В треугольнике ABC угол C равен 124°, стороны AC и BC равны. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
    4. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 6,3, cosA = 3/5. Найдите AC.
    5. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 50√3 . Найдите AB.
    6. В треугольнике ABC AC=BC=16, AB=8. Найдите cosA .
    7. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
    8. В треугольнике ABC AB=BC, AC=12, высота CH равна 6. Найдите синус угла ACB.
    9. В треугольнике ABC AC=BC, AB=16, AH – высота, BH=4. Найдите косинус угла BAC.
    10. В треугольнике ABC AC=BC, AB=10, высота AH равна 5. Найдите синус угла BAC.
    11. В треугольнике ABC CD – медиана, угол C равен 90°, угол B равен 55°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
    12. Острые углы прямоугольного треугольника равны 76° и 14°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
    13. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 16°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
    14. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
    15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC =12√3, AB=24. Найдите cosB.
    16. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=6, cosB = 3/5. Найдите AB.
    17. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,6. Найдите sinB.
    18. 57. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=20, BC = 38. Найдите cosA.
    19. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=20, AC = 2√19 . Найдите sinA.
    20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, tgA = 5. Найдите BC.
    21. В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    22. В треугольнике ABC угол A равен 38°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
    23. В треугольнике ABC угол C равен 51°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
    24.  Две стороны треугольника равны 28 и 35. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 20. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
    25. В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 64°, угол CAD равен 35°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    26. Площадь треугольника ABC равна 24, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
    27. В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 48. Найдите площадь треугольника ABC.
  2. Параллелограмм
    1. Один угол параллелограмма больше другого на 54°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах
    2. Стороны параллелограмма равны 7 и 14. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 5. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма
    3. Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка F – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции AFCD.
  3. Ромб
    1. В ромбе ABCD угол DAB равен 127°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
  4. Окружности
    1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.
    2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
    3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
  5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 65°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
  6. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 46° и 79°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
  7. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=18, BC=4 и AD=21. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
  8. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 122°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
  9. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 48°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
  10. Угол ACO равен 37°, где O – центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
  11. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 36°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

[collapse]
Тренировочные задания (блок 2)

Тренировочные задания (блок 2)

  1. Треугольники
    1. В треугольнике ABC угол A равен 37°, стороны AC и BC равны. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
    2. В треугольнике ABC угол C равен 114°, стороны AC и BC равны. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
    4. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 7,2, cosA = 4/5. Найдите AC.
    5. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 45√3 . Найдите AB.
    6. В треугольнике ABC AC=BC=16, AB=8. Найдите cosA .
    7. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
    8. В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7. Найдите синус угла ACB.
    9. В треугольнике ABC AC=BC, AB=8, AH – высота, BH=2. Найдите косинус угла BAC.
    10. В треугольнике ABC AC=BC, AB=5, высота AH равна 4. Найдите синус угла BAC.
    11. В треугольнике ABC CD – медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
    12. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
    13. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
    14. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 12°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
    15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC =12√3, AB=24. Найдите sinB.
    16. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, cosB = 3/5. Найдите AB.
    17. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,8. Найдите sinB.
    18. 57. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, BC = 19. Найдите cosA.
    19. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=30, AC = 3√19 . Найдите sinA.
    20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=5, 12 tgA = 5. Найдите AB.
    21. В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    22. В треугольнике ABC угол A равен 44°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
    23. В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
    24.  Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
    25. В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
    26. Площадь треугольника ABC равна 24, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
    27. В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.
  2. Параллелограмм
    1. Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах
    2. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма
    3. Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка F – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции AFCD.
  3. Ромб
    1. В ромбе ABCD угол DAB равен 148°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
  4. Окружности
    1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.
    2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
    3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
    4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61°, угол CAD равен 37°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
    5. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
    6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
    7. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
    8. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 56°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
    9. Угол ACO равен 27°, где O – центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
    10. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

[collapse]