ЕГЭ-математика-профиль-задание 12

Обучение онлайн!

Задание № 12

– ЕГЭ – профиль –

Решение уравнений:

  • рекомендуемое время выполнения – 10 минут;
  • за верное решение можно получить – 2 балла;
  • решение проверяется, можно подать на апелляцию;
  • все необходимые знания и умения формируются в 10-11 классах;

 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1шаг. Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

2 шаг. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

3 шаг. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов;

  • не разрешайте детям смотреть видео с решением этих заданий. Они ничему не научат. Увиденная информация минут через 40 почти полностью выветриться. Это никак не поможет подготовиться к экзамену или выучить материал.

  • Если Вам не удалось перекрыть доступ к видеорешениям, то после их просмотра попросите ребенка воспроизвести увиденное решение по памяти. Сделайте это в день просмотра, а потом еще несколько раз с перерывом в два-три дня. Выполнять задания нужно без дополнительных просмотров. Контролировать результат Вы можете по тем же самым видеоразборам.

 

Дополнение:

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Чем больше уравнений Вы прорешаете, тем быстрее правила закрепятся в памяти, поэтому практика, практика и еще раз практика.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Оформлять это задание так, как хочется, нельзя, придерживайтесь установленных нормативов.

Как оценивается

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0

Внимание:

1. при отсутствии в тексте работы ответа на вопрос пункта а задание №12 оценивается 0 баллов;

2. ответ в задании с развернутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом);

3. отбор корней (буква б) может быть произведен с помощью графика, решения двойных неравенств, тригонометрической окружности, координатной прямой;

4. при отборе корней с помощью тригонометрической окружности, на окружности должны быть отмечены и обозначены концы числового отрезка, выделена дуга, отмечены и обозначены корни, принадлежащие данному отрезку. На окружности могут быть отмечены вспомогательные числа, принадлежащие числовому отрезку.

Правила раздела "Тригонометрические уравнения"

Правила раздела “Тригонометрические уравнения”

1.Тригонометрические функции

  • что относится к тригонометрическим функциям: синус; косинус;тангенс; котангенс;
  • знание геометрических определений этих функций в задании не требуется;
  • запись  sinα означает: “синус угла α”. Между функцией и углом нет никакого действия (там нет умножения!). Это просто запись естественного языка на математическом языке.

2.Соотвествие углов в градусах и радианах: 

в градусах 0 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
радианах 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

3.Тригонометрическая таблица

0 π/2 π 3π/2
sin 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 0 0
ctg 0 0

    \[\frac{\pi }{6}\]

    \[\frac{\pi }{4}\]

    \[\frac{\pi }{3}\]

sin 1/2 √2/2 √3/2
cos √3/2 √2/2 1/2
tg 1/√3 1 √3
ctg √3 1 1/√3

4.Тригонометрическая окружность

  • по окружности откладываем углы;
  • по оси ОХ откладываем косинусы;
  • по оси ОУ откладываем синусы;
  • в точке пересечения осей – 0 – значение синуса и косинуса;
  • в точке пересечения оси ОХ с окружностью справа – 0 – значение угла;
  • против часовой стрелки по окружности откладываем положительные углы; по часовой стрелке по окружности откладываем отрицательные углы;
  • расположение четвертей против часовой стрелки: I, II, III, IV; их нумерация не меняется ни при каких условиях;
  • важные углы (в точках пересечения осей с окружностью): против часовой стрелке 0º; 90º; 180º; 270º и 360º или против часовой стрелке 0º; -90º; -180º; -270º; -360º;
  • в первой четверти расположены острые углы;
  • связь между углом первой четверти и соответствующими углами других четвертей:
    • чтобы найти соответствующий угол второй четверти, нужно из π вычесть угол первой четверти;
    • чтобы найти соответствующий угол третьей четверти, нужно к π прибавить угол первой четверти;
    • чтобы найти соответствующий угол четвертой четверти, нужно из 2π вычесть угол первой четверти.
  • знаки функций:
    • I II III IV
      sin + +
      cos + +
      tg + +
      ctg + +

5.Формулы приведения

  • 1 шаг: без каких либо уточнений или ограничений из заданного угла можно убрать 360 любое количество раз;
  • 2 шаг: определяем знак функции (он зависит от четверти);
  • 3 шаг: раскладываем оставшийся угол на  сумму или разность:
    • если в разложении присутствует 90 или 270, то заданную функцию нужно изменить на противоположную;
    • если в разложении присутствуют 180 или 360, то заданную функцию менять не надо (нельзя!)

6.Тригонометрические формулы. Основное тригонометрическое тождество sin²x+cos²x=1.

7.Ограничения в тригонометрических уравнениях. Значения синусов и косинусов должны находится в пределах от -1 до 1.

[collapse]
Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Алгоритм решения тригонометрических уравнений

1 шаг. Ограничения. Если они есть, то

  • знаменатель не равен 0;
  • подлогарифмическое выражение больше 0;
  • основание логарифма больше 0;
  • основание логарифма не равно 1;
  • подкоренное выражение больше или равно 0.

2 шаг. Упрощение.

1.Добиваемся одинаковых углов (используем формулы двойных углов или формулы приведения)

2.Добиваемся одинаковых функций (используем тригонометрические формулы)

3.Если функций все таки осталось две, то выносим общий множитель за скобку.

  • получаем распадающееся уравнение: приравниваем каждый множитель к нулю отдельно и решаем два независимых уравнения. Корни каждого из них записываем в ответ, если они соответствуют допустимым значениям.

4. Если функций все таки осталось две, но общего множителя нет, то делим на одну из функций, при условии, что она не равна 0.

5.Если уравнение квадратное, то выполняем замену, при условии, что введенная переменная находится в допустимых пределах.

6. Если есть необходимость, то можем применить

  • формулы сокращенного умножения;
  • избавиться от корня (если под ним стоит переменная);
  • привести к общему знаменателю;
  • избавиться от знаменателя.

3 шаг. Решаем уравнение.

С помощью тригонометрической окружности находим корни уравнения (без окружности Вы можете потерять некоторые корни или ошибиться при определении знака)

4 шаг. Проверяем найденные корни на ограничения (если они были)

5 шаг. Производим отбор корней с помощью двойного неравенства (если в ответе получились arc-функции, то используйте координатную прямую).

Ответ выписываем сразу для двух частей задания, обязательно указываем к какой части задания относится ответ.

[collapse]
Образцы решения тригонометрических уравнений

1.  а) Решите уравнение: 2sin2(π/2-x)+sin2x=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;9π/2].

1 шаг (всегда) – ограничения, в этом задании их нет.

2 шаг – упрощаем, если можно. В этом задании мы видим формулу приведения и формулу синуса двойного угла /если не видим, то отправляемся УЧИТЬ правила. НЕ смотреть видео с решениями, а УЧИТЬ правила/

2sin2(π/2-x)+sin2x=0

2cos2x+2sinxcosx=0

2cosx(cosx+sinx)=0

3 шаг. Решаем.

  • произведение равно 0, один из множителей равен 0, поэтому приравниваем каждый множитель к 0 и решаем два уравнения:
2cosx=0

x=π/2+πn, n∈Z

cosx+sinx=0 /:sinx, sinx≠0

ctgx+1=0

ctgx=-1

x=-π/4+πk, n∈Z

б) Записываем двойные неравенства:

3π≤π/2+πn≤9π/2

умножим все части неравенства на 2/π

6≤1+2n≤9

вычтем из всех частей неравенства 1

5≤2n≤8

разделим все части неравенства на 2

5/2≤n≤8/2

выберем все целые числа из этого отрезка (так как n по условию целое число)

n=3,4

найдем х, которые соответствуют этим n

x=π/2+π•3=7π/2

x=π/2+π•4=9π/2

3π≤-π/4+πk≤9π/2 

умножим все части неравенства на 4/π

12≤-1+4k≤18

прибавим ко всем частям неравенства 1

13≤4k≤19

разделим все части неравенства на 4

13/4≤k≤19/4

выберем все целые числа из этого отрезка (так как n по условию целое число)

k=4

найдем х, которые соответствуют этим k

x=-π/4+4k=15π/4

Ответ: а) π/2+πn, n∈Z; -π/4+πk, n∈Z; б) 7π/2; 9π/2; 15π/4.


2. а) Решите уравнение:

    \[cos2x+2=\sqrt{3}cos(\frac{3\pi }{2}-x)\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π;-3π/2].

1 шаг. Ограничений в этом уравнении нет;

2 шаг. Упрощение. Я вижу, что в уравнении разные углы, поэтому приведу их к одному значению:

  • разложу cos2x по формуле косинуса двойного угла, а угол (3π/2-х) преобразую с помощью формул приведения:

1-2sin²x+2=-√3·sinx;

  • это квадратное уравнение, поэтому перенесу все в одну сторону, приведу подобные слагаемые:

2sin²x-√3·sinx-3=0;

  • выполню замену: sinx=t, -1≤t≤1:

2t²-√3·t-3=0, D=27, t1=√3 (не является решением), t2=-√3/2;

  • обратная замена:
    • sinx=-√3/2, с помощью тригонометрической окружности нахожу х=-π/3+2πn, n∈Z и х=-2π/3+2πn, n∈Z;
  • б) найду корни с помощью двойного неравенства:

Ответ: а) -π/3+2πn, n∈Z;-2π/3+2πn, n∈Z; б) -7π/3;-8π/3.


3. а) Решите уравнение

    \[(2sinx+\sqrt{3})\cdot \sqrt{cosx}=0 \]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2;7π/2].

1 шаг. Ограничения.

  • подкоренное выражение должно быть больше или равно 0: cosx≥0, то есть значения косинуса могут находится только в первой и четвертой четвертях, то есть х∈[-π/2;π/2].

2 шаг. Упрощение.

  • в таких типах уравнений не надо раскрывать скобки, это распадающееся уравнение: 
    • 2sinx+√3=0 или cosx=0

3 шаг. Решаем каждое уравнение отдельно:

      • 2sinx+√3=0, то есть sinx=-√3/2, с помощью тригонометрической окружности находим х: х=4π/3 +2πn, n∈Z (не является допустимым) и х= 5π/3 +2πn, n∈Z;
      • cosx=0, то есть х=-π/2 +πn, n∈Z.

4 шаг. С помощью двойных неравенств произведем отбор корней:

3π/2≤5π/3 +2πn≤7π/2 (домножу все на 6 и разделю на π)

9≤10 +12n≤21 (вычту из всех частей 10)

-1≤12n≤11 (разделю все части на 12)

-1/12≤n≤11/12

Мне нужны все целые n из этого промежутка.

n=0.

 Подставим n=0 в формулу корня:

5π/3 +2π•0=5π/3

3π/2≤-π/2 +πn≤7π/2 (домножу все на 2 и разделю на π)

3≤-1 +2n≤7 (добавлю к каждой части 1)

4≤2n≤8 (разделю все части на 2)

4/2≤n≤8/2

Мне нужны все целые n из этого промежутка.

n=2;3;4.

 Подставим n=2;3;4 в формулу корня:

-π/2 +π•2=3π/2;-π/2 +π•3=5π/2; -π/2 +π•4=7π/2

Ответ: а) 5π/3 +2πn, n∈Z; -π/2 +πn, n∈Z; б) 5π/3; 3π/2; 5π/2; 7π/2.


4. а) Решите уравнение 2sin2x+√2sin(x+π/4)=cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;-π/2].

1 шаг. Ограничений нет.

2 шаг. Упрощение.

  • воспользуюсь формулой синуса суммы (она дается в справочных материалах на экзамене)

2sin2x+√2(sinхcosπ/4+cosxsinπ/4)=cosx

  • раскрою скобки, использую данные тригонометрической таблицы:

2sin2x+√2·sinх·√2/2+√2cosx·√2/2=cosx

  • выполню вычисления и перенесу все в одну сторону:

2sin2x+sinх+cosx-cosx=0

  • вынесу общий множитель за скобку и решу распадающееся уравнение:

sinx(2sinx+1)=0

3 шаг. Решаем каждое уравнение отдельно:

    • sinx=0, то есть х=πn,n∈Z;
    •  2sinx+1=0, то есть х=7π/6+2πn, n∈Z; х=11π/6+2πn, n∈Z; 

4 шаг. С помощью двойных неравенств произведем отбор корней:

  • -2π≤πn≤-π/2 (разделю все на π)

    -2≤n≤-1/2

    Мне нужны все целые n из этого промежутка: n=-2;-1.

     Подставим найденные n в формулу корня: -2π и -π.

  • -2π≤7π/6+2πn≤-π/2 (домножу все на 6 и разделю на π)

    -12≤7+12n≤-3 (вычту из каждой части 7)

    -19≤12n≤-10 (разделю все части на 12)

    -19/12≤n≤-10/12

    Мне нужны все целые n из этого промежутка: n=-1.

     Подставим n в формулу корня: 7π/6+2π·(-1)=-5π/6.

  • -2π≤11π/6+2πn≤-π/2 (домножу все на 6 и разделю на π)

    -12≤11+12n≤-3 (вычту из каждой части 11)

    -23≤12n≤-14 (разделю все части на 12)

    -23/12≤n≤-14/12

    Мне нужны все целые n из этого промежутка. Таких n нет. Корней нет.

Ответ: а) х=πn,n∈Z; 7π/6+2πn, n∈Z; 11π/6+2πn, n∈Z; б) -2π; -π; -5π/6.


5. а) Решите уравнение 2cos3x+√3cos²x+2cosx+√3=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;-π/2].

1 шаг. Ограничений нет.

2 шаг. Упрощение.

  • вынесу общий множитель за скобку:

cos²x(2cosx+√3)+(2cosx+√3)=0

(cos²x+1)(2cosx+√3)=0

  • решу распадающееся уравнение.

3 шаг. Решаем каждое уравнение отдельно:

    • cos²x+1=0, нет решений, так как сумма положительных слагаемых не может быть равна 0;
    • 2cosx+√3=0, то есть х=5π/6+2πn, n∈Z; х=7π/6+2πn, n∈Z; 

4 шаг. С помощью двойных неравенств произведем отбор корней:

  • -2π≤5π/6+2πn≤-π/2 (домножу все на 6 и разделю на π)

    -12≤5+12n≤-3 (вычту из каждой части 5)

    -17≤12n≤-8 (разделю все части на 12)

    -17/12≤n≤-8/12

    Мне нужны все целые n из этого промежутка: n=-1.

     Подставим n в формулу корня: 5π/6+2π·(-1)=-7π/6.

  • -2π≤7π/6+2πn≤-π/2 (домножу все на 6 и разделю на π)

    -12≤7+12n≤-3 (вычту из каждой части 7)

    -19≤12n≤-10 (разделю все части на 12)

    -19/12≤n≤-10/12

    Мне нужны все целые n из этого промежутка: n=-1.

     Подставим n в формулу корня: 7π/6+2π·(-1)=-5π/6.

Ответ: а) 5π/6+2πn, n∈Z; 7π/6+2πn, n∈Z; б) -5π/6; -7π/6.


6. а) Решите уравнение

    \[\frac{sin2x}{sin(\frac{7\pi }{2}-x)}=\sqrt{2}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;7π/2].

1 шаг. Ограничения.

  • знаменатель не может быть равен 0: sin(7π/2-x)≠0; упрощаю с помощью формул приведения: -cosx≠0, то есть х≠π/2 +πn, n∈Z;

2 шаг. Упрощение.

  • сокращаю дробь:

    \[-\frac{2sinxcosx}{cosx}=\sqrt{2}\]

-2sinx=√2

  • то есть sinx=-√2/2.

3 шаг. Решаю уравнение с помощью тригонометрической окружности: х=5π/4+2πn, n∈Z; х=7π/4+2πn, n∈Z; 

4 шаг. С помощью двойного неравенств произведем отбор корней:

  • 2π≤5π/4+2πn≤7π/2 (домножу все на 4 и разделю на π)

    8≤5+8n≤14 (вычту из каждой части 5)

    3≤8n≤9 (разделю все части на 8)

    3/8≤n≤9/8

    Мне нужны все целые n из этого промежутка: n=1.

     Подставим n в формулу корня: 5π/4+2π·1=13π/4.

  • 2π≤7π/4+2πn≤7π/2 (домножу все на 4 и разделю на π)

    8≤7+8n≤14 (вычту из каждой части 7)

    1≤8n≤7 (разделю все части на 8)

    1/8≤n≤7/8

    Мне нужны все целые n из этого промежутка, таких n нет. Корней нет.

Ответ: а) 5π/4+2πn, n∈Z; 7π/4+2πn, n∈Z; б) 13π/4.


[collapse]
Правила раздела "Логарифмические уравнения"

[collapse]
Алгоритм решения логарифмических уравнений

1 шаг. Ограничения. Если они есть, то

  • знаменатель не равен 0;
  • подлогарифмическое выражение больше 0;
  • основание логарифма больше 0;
  • основание логарифма не равно 1;
  • подкоренное выражение больше или равно 0.

2 шаг. Упрощение.

1.Добиваемся одинаковых оснований и одинаковых подлогарифмических выражений.

2.Если уравнение квадратное, то выполняем замену.

3. Если есть необходимость, то можем применить

  • формулы сокращенного умножения;
  • вынести общий множитель за скобку:
    • получаем распадающееся уравнение: приравниваем каждый множитель к нулю отдельно и решаем два независимых уравнения. Корни каждого из них записываем в ответ, если они соответствуют допустимым значениям.
  • избавиться от корня (если под ним стоит переменная);
  • привести к общему знаменателю;
  • избавиться от знаменателя.

3 шаг. Решаем уравнение.

  • распадающееся или квадратное.

4 шаг. Проверяем найденные корни на ограничения (если они были)

5 шаг. Производим отбор корней с помощью двойного неравенства.

Ответ выписываем сразу для двух частей задания, обязательно указываем к какой части задания относится ответ.

[collapse]
Образцы решения логарифмических уравнений

1. Решите уравнение (задание из ЕГЭ-2014 и 2019 года)

а) log5(2-x)=log25x4.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log91/82;log98]. 

1 шаг. В уравнении есть логарифм, значит, есть ограничения:

  • 2-х>0, то есть х<2;
  • х≠0.

2 шаг. Уравнение нужно упростить.

  • нужно получить одинаковые основания с обеих сторон знака равно. Для этого представлю 25 как 52  и 4 как 22, вынесу получившиеся степени перед логарифмом (смотри формулы), получу

    \[log_{5}(2-x)=2\cdot \frac{1}{2}log_{5}x^{2}\]

log5(2-x)=log5

  • справа и слева от знака равно стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому могу приравнять их подлогарифмические выражения:

2-х=х²

  • вижу квадратное уравнение, поэтому переношу все в одну сторону и нахожу дискриминант:

х²+х-2=0, D=9

х1=1, х2=-2

  • оба корня соответствуют допустимым значениям.

б) определим корни соответствующие отрезку [log91/82;log98]

  • 1=log99, то есть в заданный отрезов не попадает;
  • -2=log91/81, в заданный отрезок попадает.

Ответ: а) -2;1; б) -2.

2. Решите уравнение (задание ЕГЭ-2013)

    \[1+log_{2}(9x^{2}+5)=log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^{4}+14}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1;8/9].

1 шаг. Ограничений нет, так как и подлогарифмическое и подкоренное выражения содержат суммы положительных членов.

2 шаг. Упрощаем. Нужно, чтобы с обеих сторон знака равно стояли по одному логарифму с одинаковыми основаниями:

  • представлю 1 как log22 и воспользуюсь формулой суммы логарифмов:

    \[1+log_{2}(9x^{2}+5)=log_{2}(2)+log_{2}(9x^{2}+5)=log_{2}(2(9x^{2}+5))\]

  • избавлюсь в правой части уравнения от корней:

    \[log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^{4}+14}=log_{2^{\frac{1}{2}}}(8x^{4}+14)^{\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{1}{2}log_{2}(8x^{4}+14)=log_{2}(8x^{4}+14) \]

  • после этих преобразований получаю уравнение:

    \[log_{2}(2(9x^{2}+5))=log_{2}(8x^{4}+14)\]

  • c обеих сторон уравнений стоят логарифмы с одним и тем же основанием, поэтому могу приравнять подлогарифмические выражения

    \[2(9x^{2}+5)=8x^{4}+14\]

  • вижу биквадратное уравнение, поэтому переношу все на одну сторону и делю на 2:

49x²+2=0

  • ввожу замену: х²=t, t>0

4t²-9t+2=0, D=49, t=1/4 и t=2

  • оба корня являются допустимыми, провожу обратную замену

х²=1/4 и х²=2

х=±½; ±√2

5 шаг. Производим отбор корней:

±√2 меньше -1 и больше 8/9, поэтому в заданный промежуток не входят;

±½ соответствуют заданному промежутку.

Ответ: а) ±½; ±√2; б) ±½.

[collapse]
Правила раздела "Показательные уравнения"

Правила раздела “Показательные уравнения”

[collapse]
Алгоритм решения показательных уравнений

Алгоритм решения показательных уравнений

1 шаг. Ограничения. Если они есть, то

  • знаменатель не равен 0;
  • подлогарифмическое выражение больше 0;
  • основание логарифма больше 0;
  • основание логарифма не равно 1;
  • подкоренное выражение больше или равно 0.

2 шаг. Упрощение.

1.Добиваемся одинаковых оснований и степеней.

2.Если есть необходимость, то можем применить

  • формулы сокращенного умножения;
  • избавиться от корня (если под ним стоит переменная);
  • привести к общему знаменателю;
  • избавиться от знаменателя;
  • вынести общий множитель за скобку:
    • получаем распадающееся уравнение: приравниваем каждый множитель к нулю отдельно и решаем два независимых уравнения. Корни каждого из них записываем в ответ, если они соответствуют допустимым значениям.

3.Если уравнение квадратное, то выполняем замену, при условии, что введенная переменная находится в допустимых пределах.

3 шаг. Решаем уравнение.

4 шаг. Проверяем найденные корни на ограничения (если они были)

5 шаг. Производим отбор корней с помощью двойного неравенства .

Ответ выписываем сразу для двух частей задания, обязательно указываем к какой части задания относится ответ.

[collapse]
Образцы решения показательных уравнений

1. Решите уравнение  (задание ЕГЭ-2013)

а) 

    \[9^{x-\frac{1}{2}}-8\cdot 3^{x-1}+5=0\]

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1;7/3).

1 шаг. В этом уравнении ограничений нет.

2 шаг. Упрощаю.

  • добиваюсь одинаковых оснований:

    \[3^{2x-1}-8\cdot 3^{x-1}+5=0\]

  • добиваюсь одинаковых или похожих показателей:

    \[\frac{3^{2x}}{3}-\frac{8\cdot 3^{x}}{3}+5=0\]

3 шаг. Это квадратное уравнение, введу замену 3х=t, t>0

  • решу квадратное уравнение:

    \[\frac{t^{2}}{3}-\frac{8t}{3}+5=0\]

    \[t^{2}-8t+15=0\]

  • D=4, t=3; t=5;
  • оба корня соответствуют допустимым значениям;
  • обратная замена: 
    • 3х=3 и 3х=5, отсюда х=1 и х=log35.

5 шаг. Проводим отбор корней:

  •  х=1 не входит в заданный промежуток, так как он ограничен круглыми скобками;
  • log33<log35<log39, то есть 1<log35<2, так как 2<7/3, то log35 входит в заданный промежуток.

Ответ: а) 1; log35; б) log35.

2.а) Решите уравнение (ЕГЭ-2013г.)

    \[15^{cosx}=3^{cosx}\cdot 5^{sinx}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π;13π/2].

1 шаг. Ограничений нет.

2 шаг. Упрощаю.

  • в левой части уравнения число 15 могу представить в виде произведения 3 и 5, чтобы получить основания равные основаниям в правой части уравнения

    \[3^{cosx}\cdot 5^{cosx}=3^{cosx}\cdot 5^{sinx}\]

  • переношу все в одну сторону и выношу общий множитель за скобку:

    \[3^{cosx}(5^{cosx}-5^{sinx}=0\]

3 шаг. Решаю уравнение.

  • это распадающееся уравнение, приравняю каждый множитель к 0
    • 3cosx=0 (нет решений, нет такой степени, которая может превратить число в 0)
    • 5cosx-5sinx=0
      • основания одинаковые, могу приравнять показатели степени: cosx=sinx
      • разделю обе части уравнения на cosx, при условии, что cosx≠0;
      • tgx=1, то есть х=π/4+πn, n∈Z.

5 шаг. Отбираю корни с помощью двойного неравенства:

  • 5π≤π/4 +πn≤13π/2 (домножу все на 4 и разделю на π)
  • 20≤1+4n≤26 (вычту из всех частей 1)
  • 19≤4n≤25 (разделю все части на 4)
  • 19/4≤n≤25/4 (вычту из всех частей 1
  • выберу все целые n из этого промежутка: 5;6;
  • подставлю найденные n  в формулу нахождения х:
    • х= π/4 +π·5=21π/4;х= π/4 +π·6=25π/4.

Ответ: а) π/4+πn, n∈Z; б) 21π/4; 25π/4.

3.а) Решите уравнение (ЕГЭ-2014г.)

    \[9^{sinx}+9^{-sinx}=2\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2;-2π].

1 шаг. Ограничений нет.

2 шаг. Упрощаю.

  • ввожу замену: t=9sinx;

    \[t+t^{-1}=2\]

  • избавляюсь от минуса в степени, переношу все в одну сторону

    \[t+\frac{1}{t}-2=0\]

  • избавляюсь от знаменателя, домножаю все на t, при условии, что t≠0

t2-2t+1=0;

3 шаг. Решаю уравнение.

  • это формула сокращенного умножения:

(t-1)2=0

t=1

  • обратная замена:

1=9sinx

90=9sinx

  • основания одинаковые, приравниваем показатели степени:

sinx=0, то есть х=πn, n∈Z

5 шаг. Отбираю корни с помощью двойного неравенства:

  • -7π/2≤πn≤-2π (разделю все на π)
  • -7/2≤n≤-2
  • выберу все целые n из этого промежутка: -3;-2;
  • подставлю найденные n  в формулу нахождения х:
    • х= π·(-3)=-3π; х= π·(-2)=-2π.

Ответ: а) πn, n∈Z; б) -3π; -2π.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

  1. Показательные уравнения
    1. а) 25х-³/2-12•5х-2+7=0; б) найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (2; 8/3)
    2. а) 8х-3•4х-2х+3=0; б) найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [1,5;3]
  2. Тригонометрические уравнения
    1. а)\LARGE cosx+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}\cdot (sinx+1)}=0 б) найдите корни, принадлежащие отрезку [-2π;π/2]
    2. а) (25cosxsinx=5√2sinx; б) найдите корни, принадлежащие отрезку [-5π/2;-3π/2]
    3. а) 2sin2x+7sinx-4=0; б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 2π]
    4. а) cos2x+√2cos(π/2+x)+1=0; б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 3,5π]
    5. а) 2sin2x+√2sin(x+π/4)=cosx; б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;-π/2]
    6. а) 2cos3x+√3cos2x+2cosx=-√3; б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;-π/2]
  3. Логарифмические уравнения
    1. log7(x+2)=log49x4; б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log61/7;log635]

[collapse]