ЕГЭ-математика-база-задание-9

Обучение онлайн!

Задание № 9

– ЕГЭ – база –

– решение уравнений –

  • базовый уровень сложности; 
  • рекомендуемое время выполнения- 5 минут;
  • за верное решение можно получить 1 балл;
  • решение не проверяется, на апелляцию не подается;
  • необходимые знания и умения формируются в 4-11 классах;

 

Решать уравнения все учатся еще в первом классе. Поэтому к ЕГЭ почти все умеют это делать, если же Вы из тех, кому 11 лет не хватало времени, научиться решать уравнения, сейчас придется приложить много усилий, чтобы выучить все необходимые правила.

 

Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

1шаг. Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!

2 шаг. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. “По памяти” – не подглядывая, ни на секунду, ни “одним глазком”, ни “чтобы просто убедиться”. При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.

3 шаг. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.

 

Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?

Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители boast!

Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то 

  • попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.

  • не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы – это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;

  • попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.

 

Дополнение:

Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.

Чем больше уравнений Вы прорешаете, тем быстрее правила закрепятся в памяти, поэтому практика, практика и еще раз практика.

Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.

Алгоритм решения линейных уравнений

Алгоритм решения линейных уравнений

1. Уравнение линейное, если максимальная степень у переменной равна единице.

2. Это уравнение уровня 1-2 класса, поэтому при решении можно использовать правила начальной школы:

  • как найти слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое; делимое; делитель; множитель;

3. Можно воспользоваться приемом 5-6 класса:

  • все, что не известно, перенести налево, все, что известно, перенести вправо.

4. А можно просто составить себе выражение, в котором все будет известно и которое будет состоять из маленьких чисел. Выразить из него необходимое число, а потом повторить процедуру с заданным уравнением.

  • например, x+4=16
    • х – участвует в сложении, составлю выражение на сложение, где все известно: 2+3=5;
    • в этом выражении мне нужно найти 2 (потому что х в заданном уравнении тоже стоит на первом месте): 2=5-3;
    • таким же образом найду х: х=16-4, то есть х=12.
  • Ответ: х=12.

Помните!

1. При переносе числа или переменной в другую часть уравнения обязательно поменяйте знак на противоположный.

2. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть другое слагаемое.

3. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

4. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

5. Чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель.

6. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

7. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

8. Если сложно запомнить эти правила, то просто составьте себе пример, состоящий из небольших чисел, похожий на Ваше уравнение, обведите в кружок то, что хотите найти. Найдите это в записанном примере, а потом повторите все тоже самое с Вашим уравнением.

[collapse]
Образцы решения линейных уравнений

Задание: 6х-27=15х+9

1.Анализирую: максимальная степень х равна одному. Уравнение линейное.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. Уравнение линейное, поэтому переношу все неизвестное влево, известное вправо: 6х-15х=9+27.

4. Вычисляю: -9х=36, то есть х=-4.

5. Ответ: -4.

[collapse]
Линейные уравнения. Тестирование.

 

Алгоритм решения квадратных уравнений

Алгоритм решения квадратных уравнений

1. Уравнение квадратное, если максимальная степень у переменной равна двум.

2. Если Вам досталось полное квадратное уравнение, то

  • выпишите значения коэффициентов а,в,с;
  • найдите дискриминант;
  • найдите корни;
  • помните! чтобы решить полное квадратное уравнение, нужно все его члены перенести налево!

3. Если Вам досталось неполное квадратное уравнение, то

  • можно вынести общий множитель за скобку, далее решать уравнение по частям (каждый множитель приравнять к нулю по отдельности);
  • можно свободное число (число без переменной) перенести направо и извлечь квадратный корень (помните, что Вы получите два корня; одно значение с плюсом, второе с минусом);

4. Если в уравнении даны формулы сокращенного умножения, то сначала раскройте их.

  • если в результате раскрытия формул сокращенного умножения получилось линейное уравнение, то далее пользуйтесь алгоритмом решения линейного уравнения.

[collapse]
Образцы решения квадратных уравнений

1. Задание х2-15=(х-15)2

1. Максимальная степень переменной равна двум, то есть это квадратное уравнение.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. В уравнении есть формула сокращенного умножения, раскрою скобку в правой части уравнения по формуле квадрата суммы:

 х2-15=х2-30х+225

4. Перенесу все в одну сторону: 30х-240=0.

5. Далее решаю как линейное уравнение:

30х-240=0

/30х – участвует в вычитании, является уменьшаемым, чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое/

30х=0+240

30х=240

30х=240 /х – участвует в умножении, является множителем, чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель/

х=240:30

х=8

6. Ответ: 8.

2.Задание (х+11)2=44х

1. Максимальная степень переменной равна двум, то есть это квадратное уравнение.

2. В таких уравнениях нет ограничений.

3. В уравнении есть формула сокращенного умножения:

х2+22х+121=44х;

4. Перенесу все в левую часть: х2-22х+121=0.

5. Вижу здесь формулу сокращенного умножения: квадрат разности

(х-11)2=0

х-11=0

х=11

Ответ: 11.

3.Найдите корень уравнения (x-11)4=(x+3)4.

1. Переношу все в одну сторону: (х-11)4– (х+3)4=0.

2. Вижу формулу сокращенного умножения (разность квадратов): ((х-11)2– (х+3)2)•((х-11)2+ (х+3)2)=0 .

3. Произведение равно нулю, если один из множителей равен 0. Это “распадающееся уравнение”. Приравниваю каждый множитель по отдельности к нулю:

  • первый множитель:

    • (х-11)2+(х+3)2=0

    • х2-22х+121+х2+6х+9=0

    • 2-16х+130=0

    • х2-8х+65=0, D<0, то есть решений нет

  • второй множитель:

    • (х-11)2-(х+3)2=0

    • х2-22х+121-х2-6х-9=0

    • -28х+112=0

    • х=4.

Ответ: 4.

[collapse]
Квадратные уравнения. Тестирование.

 

Алгоритм решения уравнений с корнями

Алгоритм

1. Если в уравнении есть корень, то в уравнении есть ограничения:

  • подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю;
  • подкоренное выражение – то, что стоит под корнем (без корня!);
  • все, что стоит под корнем, а не только х;
  • решаем получившееся неравенство, находим возможные значения х (получаем промежуток, а не одно значение).

2. Если в уравнении есть корень, то от него надо избавиться:

  • все, что не содержит корня, переносим на другую сторону;
  • возводим обе части уравнения в квадрат (куб, пятую степень – зависит от степени корня);
  • далее решаем по алгоритму или линейного уравнения или квадратного.

3. Если в левой части уравнения есть корень, а в правой части есть переменная, то перед возведением уравнения в степень, выписываем ограничения для правой части, она тоже должна быть больше или равна 0.

4. Полученный ответ проверяем на ограничения (обязательно!).

[collapse]
Образцы решения уравнений с корнями

1.Найдите корень уравнения

    \[ \sqrt{4x+20}=16\]

1. Степень корня четная (вторая), поэтому выписываю ограничения, так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

    • 4х+20≥0 
    • 4х≥-20 
    • х≥-5

2. Возвожу обе части уравнения в квадрат:

        • 4х+20=256 
        • 4х=256-20
        • 4х=236 
        • х=59

3. Проверяю, соответствует ли найденный корень ограничениям:

      • 59 больше, чем -5, то есть соответствует

Ответ: 59.

2.Решите уравнение

    \[ \sqrt{8x+20}=x\]

 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

1. Степень корня четная (вторая) выписываю ограничения, так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

    • 8х+20≥0 
    • 8х≥-20 
    • х≥-2,5
    • Ограничения для правой части (так как вторая часть уравнения содержит переменную), она также должна быть больше или равно нулю:
      • х≥0

2. Возвожу обе части уравнения в квадрат: 

      • 8х+20=х2 ; это квадратное уравнение, поэтому переношу все члены уравнения в одну сторону;
      • 0=х2-8х-20 тождественно х2-8х-20=0
      • a=1; b=-8; c=-20
      • D=b2-4ac, x=(-b±√D)/2a
      • D=144; х=10;-2

3. Проверяю, соответствуют ли найденные корни ограничениям:

      • 10 больше, чем 0, то есть соответствует; -2 не соответствует.

Ответ: 10.

3.Найдите корень уравнения

    \[\sqrt[3]{3x-8}=4\]

1. Степень корня нечетная, поэтому ограничений нет.

2. Возвожу ОБЕ части уравнения в третью степень:

      • 3х-8=64;
      • 3х=64+8
      • 3х=72
      • х=24

Ответ: 24.

4.Найдите корень уравнения

    \[ \frac{\sqrt{2x+5}}{3}=5\]

1. Степень корня четная, поэтому есть ограничения (подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю)

      • (2х+5)≥0 
      • 2х+5≥0 
      • 2х≥-5 
      • х≥-2,5

2. Возвожу ОБЕ части уравнения в квадрат

      • (2х+5)/9=25 
      • 2х+5=225 
      • 2х=225-5
      • 2х=220 
      • х=110

3. Проверяю найденный корень на ограничения

      • 110 больше -2,5

Ответ: 35.

5.Решите уравнение:

    \[\sqrt{5x}=2,5x\]

1. Если уравнение содержит корень, дробь или логарифм, то первым делом мы рассматриваем ограничения: подкоренное выражение 5х≥0, то есть х≥0.

2. Та часть, которая не содержит корня, также больше или равна нулю: 2,5х≥0, то есть х≥0.

3. Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат: 

  • 5х=6,25х2 – это квадратное уравнение, поэтому перенесу все в одну сторону;
  •  5х-6,25х2=0;
  • вынесем общий множитель за скобку: 5х(1-1,25х)=0
  • приравняем каждый множитель к 0:
    • 5х=0 или 1-1,25х=0,
    • то есть х=0 или х=0,8;

4. Проверяем найденные корни на соответствие области допустимых значений. Оба соответствуют.

5. Нужен больший корень, поэтому в ответ запишем 0,8.

Ответ: 0,8.

[collapse]
Алгоритм решения уравнений с дробями

Алгоритм

1. Если в уравнении есть дробь, то в уравнении есть ограничения:

  • знаменатель не может быть равен 0;
  • знаменатель – то, что стоит под дробью;
  • все, что стоит под дробью, а не только х;
  • решаем получившееся неравенство, находим запрещенные значения х (получаем конкретные значения).

2. Если в уравнении есть дробь или дроби, то от них надо избавиться:

  • определяем общий знаменатель;
  • домножаем все уравнение (каждую дробь, левую и правую части уравнения) на общий знаменатель;
  • если слева и справа от знака равно стоит по одной дроби, то можно решать это уравнение как пропорцию (крест-накрест).

3. После избавления от дроби, решаем уравнение как линейное или квадратное.

4. Полученный ответ проверяем на ограничения (обязательно!).

[collapse]
Образцы решения уравнений с дробями

1.Найдите корень уравнения 

    \[ \frac{x-5}{2x-7}=\frac{x-5}{x-8} \]

В ответе запишите больший корень.

1. В уравнениях с дробями есть ограничения, поэтому выписываю знаменатель (каждый отдельно), он не может быть равен нулю:

      • 2х-7≠0 
        • 2х≠7 
        • х≠3,5
      • х-8≠0 
        • х≠8

2. Справа и слева от знака равно по одной дроби, то есть можем воспользоваться правилом пропорции (перемножаем крест-накрест):

      • (х-5)(х-8)=(х-5)(2х-7)
      • перенесем все в одну сторону: (х-5)(х-8)-(х-5)(2х-7)=0
      • вынесу общий множитель за скобку (х-5)(х-8-2х+7)=0
      • приравняю каждую скобку к нулю и решу получившиеся уравнения
        • х-5=0 и -х-1=0
        • х=5 и х=-1

3. Проверяю найденные корни на соответствие ограничениям. Подходят оба.

4. Выбираю один нужный корень с учетом требований заданий. Подходит 5.

Ответ: 5.

2.Найдите корень уравнения:

    \[\frac{1}{2x-3}=\frac{1}{8}\]

.

1.В уравнении есть дроби, поэтому записываю ограничения: 2х-3≠0, то есть х≠1,5.

2. Такое уравнение удобно решать как пропорцию:

(2х-3)•1=8•1

2х-3=8

2х=11

х=5,5

3. Ответ: 5,5

3.Найдите корень уравнения

    \[\frac{x-2}{12x-22}=\frac{x-2}{10x+6}\]

.

Если в ответе более одного корня, запишите наибольший.

1. В уравнении есть дроби, поэтому выпишем ограничения (для каждого знаменателя свое):

  • 12х-22≠0, то есть х≠22/12, х≠-6/10
  • 10х+6≠0, то есть х≠11/10, х≠-3/5

2. Такое уравнение удобно решать как пропорцию:

(х-2)(10х+6)=(х-2)(12х-22)

(х-2)(10х+6-12х+22)=0

х-2=0 или -2х+28=0

3. То есть х=2; х=14, проверяем их на ограничения.

4. Наибольший корень 14.

5. Ответ: 14.

 

[collapse]
Алгоритм решения уравнений со степенями

Алгоритм

1. Чтобы решить уравнение со степенями нужно

  • добиться одинаковых оснований
          • отбросить эти основания;
          • решить уравнение, состоящее только из степеней;
  • добиться одинаковых степеней
          • отбросить эти степени;
          • решить уравнение, состоящее только из оснований.

Помните!

1. При умножении одинаковых оснований, степени складываются.

2. При делении одинаковых оснований, степени вычитаются.

3. При возведении степени в степень, степени перемножаются.

4. Любое число в нулевой степени 1.

5. При возведении в первую степень, число не меняется.

6. Чтобы избавится от минуса в степени, нужно число вместе со степенью опустить в знаменатель.

[collapse]
Образцы решения уравнений со степенями

1.Найдите корень уравнения 2х-4=16.

1. В таких уравнениях нет ограничений.

2. Добиваюсь одинаковых оснований с обеих сторон уравнения:

      • 2х-4=16 
      • 2х-4=24 
      • х-4=4 
      • х=4+4
      • х=8

Ответ: 8.

2.Найдите корень уравнения

    \[ (\frac{1}{4})^{x-3}=\frac{1}{64}\]

1. В таких уравнениях нет ограничений.

2. Добиваюсь одинаковых оснований с обеих сторон уравнения:

      • (1/4)(х-3)=(1/4)3 
      • х-3=4 
      • х=3+3
      • х=6

Ответ: 6.

3.Найдите корень уравнения 3х-4=1/243.

1. В таких уравнениях нет ограничений.

2. Добиваюсь одинаковых оснований с обеих сторон уравнения:

      • 3х-4=1/243 
      • 3х-4=3-5 
      • х-4=-5 
      • х=-5+4
      • х=-1

Ответ: -1.

4.Найдите корень уравнения (х-7)4=81

1. В таких уравнениях нет ограничений.

2. Добиваюсь одинаковых оснований с обеих сторон уравнения:

      • (х-7)4=81 
      • (х-7)4=34
      • х-7=3 
      • х=3+7
      • х=10

Ответ: 10.

5.Найдите корень уравнения 

74-х=3,5•24-х.

1. В этом задании нам бы хотелось, чтобы были одинаковые основания. Если 7 разделить на 2, то мы получим 3,5, тогда все основания станут одинаковыми:

    \[\frac{7^{4-x}}{2^{4-x}}=3,5\]

2. Так как основания одинаковые, то можем их записать с общей степенью:

    \[(\frac{7}{2})^{4-x}=3,5\]

.

3. Так как основания одинаковые, можем приравнять показатели степени:

4-х=1

х=3

Ответ: 3.

9.Найдите корень уравнения 

(х-4)3=729.

1.Представим правую часть в виде числа в степени 3, чтобы степени с обеих частей уравнения были одинаковыми:

(х-4)3=93

2.Так как степени одинаковые, можем приравнять основания степени:

х-4=9

х=13

Ответ: 13.

[collapse]
Алгоритм решения уравнений с логарифмами

Алгоритм

1. Если в уравнении есть логарифм, то сначала выписываем и рассматриваем ограничения (определяем допустимые значения переменной):

  • основание логарифма больше нуля и не равно одному;
  • подлогарифмическое выражение больше нуля.

2. Чтобы решить уравнение с логарифмами нужно

  • добиться (с помощью формул) чтобы с обеих сторон от знака равно стояло по одному логарифму;
  • добиться одинаковых оснований логарифмов
          • отбросить эти логарифмы;
          • решить уравнение, состоящее только из подлогарифмических выражений;
  • если с одной стороны от знака равно стоит логарифм, а с другой число, то избавляемся от логарифма с помощью формулы и решаем далее уравнение как линейное или квадратное.

3. Проверяем найденные значения на соответствие допустимым значениям.

Помните!

[collapse]
Образцы решения уравнений с логарифмами

Уравнения с логарифмами

1.Найдите корень уравнения log4(3x-14)=3.

1. В уравнении есть логарифм, поэтому выписываю ограничения

      • 3х-14>0 
      • 3х>14 
      • х>14/3

2. Избавляюсь от логарифма по формуле: logab=c ⇔ b=ac:   log4(3x-14)=3 ⇔ 3x-14=43

      • 3x-14=64 
      • 3х=64+14
      • 3х=78 
      • х=26

3. Проверяю найденный корень на соответствие ограничениям

      • 26 >14/3

Ответ: 26.

2.Найдите корень уравнения log3(7x-4)=log3(4x+17).

1. В уравнении есть логарифмы, поэтому выписываю ограничения (для каждого свое!)

    • первое ограничение (первый логарифм)
      • 7х-4>0 
      • 7х>4 (делю ОБЕ части неравенства на 7)
      • х>4/7
    • второе ограничение (второй логарифм)
      • 4х+17>0 
      • 4х>-17 
      • х>-17/4

2. Так как и справа и слева от знака равно стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, то далее рассматриваем, только подлогарифмические выражения:

      • 7х-4=4х+17 
      • 7х-4х=17+4
      • 3х=21
      • х=7

3. Проверяю найденный корень на соответствие ограничением

      • 7 >4/7 и 7>-17/4

Ответ: 7.

3.Найдите корень уравнения l0g4 (6+7x)=log4 (1+3x)+1

1. В уравнении есть логарифмы, поэтому выписываю ограничения (для каждого свое!)

      • первое ограничение (первый логарифм)
        • 6+7х>0 
        • 7х>-6 (делю ОБЕ части неравенства на 7)
        • х>-6/7
      • второе ограничение (второй логарифм)
        • 1+3х>0 (переношу +1 направо, меняю знак)
        • 3х>-1 (делю ОБЕ части на 3)
        • х>-1/3

2. Так как справа от знака равно есть не только логарифм, но и обычное число, то представляю это число в виде логарифма

        • lоg4 (6+7x)=log4 (1+3x)+log4 41 /теперь в правой части вижу формулу суммы логарифмов;
        • lоg4 (6+7x)=log4 ((1+3x)•4) 
        • 6+7х=(1+3х)•4 
        • 6+7х=4+12х 
        • 7х-12х=4-6
        • -5х=-2 
        • х=0,4

3. Проверяю найденный корень на соответствие ограничением

      • 0,4 >-6/7 и 0,4>-1/3

Ответ: 0,4.

4.Найдите корень уравнения 2log16(9x+4)=5

1. В уравнении есть логарифм, поэтому выписываю ограничения

        • 9х+4>0
        • 9х>-4 
        • х>-4/9

2. Упрощаю левую часть: 2log16(9x+4)=

    \[2^{log_{2^{4}}(9x+4)}=2^{\frac{1}{4}log_{2}(9x+4)}=2^{log_{2}(9x+4)^{\frac{1}{4}}}=(9x+4)^{\frac{1}{4}}\]

3. В полученном уравнении, возвожу обе части в четвертую степень: 9х+4=54;

      • 9х+4=625 /9х участвует в сложении, чтобы найти слагаемое, нужно из разности вычесть другое слагаемое/
      • 9х=625-4
      • 9х=621 /х участвует в умножении, чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель/
      • х=69

4. Проверяю найденный корень на соответствие ограничениям:

      • 69>-4/9

Ответ: 69

5.Найдите корень уравнения log3(2-x)=log916.

1.В уравнении есть логарифмы, поэтому выписываю ограничения: 2-х>0, то есть х<2.

2. Наша цель- одинаковые основания логарифмов у обеих частей уравнения, поэтому представим 9=32 и вынесем степень перед логарифмом.

log3(2-x)=1/2•log316

3. Чтобы избавится от коэффициента перед правым логарифмом, представим 16=42 и вынесем степень перед логарифмом

log3(2-x)=1/2 •2•log34

log3(2-x)=log34

4. Так как основания логарифмов одинаковые, можем логарифмы убрать и рассматривать только подлогарифмические выражения

2-х=4

х=-2

Ответ: -2.

6.Найдите корень уравнения log3(x+6)=log3(10-х)-1.

1. Есть логарифм, есть ограничения: х+6>0, то есть х>-6; 10-x>0, то есть х<10.

2. Представим единицу в виде log33 и заменим разность логарифмов логарифмом дроби:

log3(x+6)=log3((10-х):3)

3. C обеих частей равенства стоят по одному логарифму, поэтому далее могу рассматривать только подлогарифмические выражения: х+6=(10-х)/3.

4. Домножаю обе части уравнения на 3: 3х+18=10-х.

5. Переменная в первой степени, то есть это линейное уравнение, поэтому все неизвестное переношу направо, все известное налево: 4х=-8.

Ответ: х=-2.

[collapse]

Общие правила

Общие правила

1.  Если в уравнении нет корня, знаменателя, логарифма, синуса или косинуса, то ограничений нет.

2. В уравнении необходимо обязательно рассмотреть ограничения, если в нем есть подкоренное выражение с переменной, знаменатель с переменной, логарифм с переменной.

3. Дробь равна нулю, если знаменатель НЕ равен нулю, а числитель равен нулю. 

4. Если есть корень четной степени, то в уравнении обязательно есть ограничение. Подкоренное выражение должно быть больше или равно 0.

5. Если степень корня нечетная, то ограничений нет.

6. Если в уравнении есть знаменатель, то в уравнении есть ограничения. Знаменатель не может быть равен 0.

7. Если в уравнении есть логарифм, то в уравнении есть ограничения. Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля. Основание логарифма должно быть больше нуля. Основание логарифма не равно одному.

8. Учим формулы сокращенного умножения и не путаем их:

    • (a±b)2=a2±2ab+b– квадрат суммы и квадрат разности;
    • a2-b2=(a-b)(a+b) – разность квадратов;
    • a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) – разность кубов;
    • a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) – разность кубов.

[collapse]
Тренировочные задания

Тренировочные задания

Уравнения с корнями

  1. Найдите корень уравнения  корень из { 3x плюс 49}=10. Ответ: 17. (Демонстрационная версия. 2021)
  2. Решите уравнение  корень из { 3 плюс 2x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. Ответ: 3. (Демонстрационная версия. 2021)
  3. Найдите корень уравнения  корень из [ 3]{x минус 5}=3. Ответ: 32. (Досрочная волна. 2021)

Уравнения с логарифмами

  1. Найдите корень уравнения  логарифм по основанию 8 (5x плюс 47)=3. Ответ: 93. (Демонстрационная версия. 2021)
  2. Найдите корень уравнения  логарифм по основанию 5 (8 минус x)= логарифм по основанию 5 2. Ответ: 6. (Досрочная волна. 2021)
  3. Найдите корень уравнения 3log9(2x+6)=6. Ответ: 15.
  4. Найдите корень уравнения l0g3 (7+2x)=log3 (3-2x)+2. Ответ: 1.

Уравнения со степенями

  1. Найдите корень уравнения: 3 в степени x минус 5 =81. Ответ: 9. (Демонстрационная версия. 2021)
  2. Найдите корень уравнения {{ левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 правая круглая скобка } в степени x минус 8 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 . Ответ: 10. (Основная волна. 2021)
  3. Найдите корень уравнения {{5} в степени x минус 7 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 125 . Ответ: 4. (Основная волна. 2021)
  4. Найдите корень уравнения (x плюс 4) в степени 3 = минус 125. Ответ: -9. (Резервная волна. 2021)
  5. Найдите корень уравнения  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени x минус 6 =125. Ответ: 3. (Досрочная волна. 2019)
  6. Найдите корень уравнения  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 правая круглая скобка в степени x плюс 2 =5 в степени x плюс 5 . Ответ: -3. (Основная волна. 2014)

Уравнения с дробями

  1. Найдите корень уравнения  дробь, числитель — 1, знаменатель — 4x плюс 9 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 6x плюс 12 .  Ответ: -1,5. (Досрочная волна. 2013)

[collapse]