Аналитическая геометрия

Варианты контрольных работ

Вариант 1

  1. Длина вектора а=5, длина вектора в=2, угол между векторами 135º. Найдите |a+b|; |a-b|; (5a+3b)•(2a-b).
Смотреть решение и ответ

[свернуть]

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах (а+2в) и (2а+3в), если длина вектора |а|=5, длина вектора |в|=2, угол между векторами 135º.

Смотреть решение и ответ

Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине векторного (именно векторного) произведения:

S=1/2а×в=1/2(а+2в)×(2а+3в)=1/2(2а²+3ав+4ва+6в²)=1/2(2а²-3ва+4ва+6в²)=1/2•ва=1/2|в||а|sinα=1/2•10•√2/2=2,5√2

[свернуть]

3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(2,4,-5), B(-3,2,4), C(5,9,7).  Средствами векторной алгебры требуется найти:

1.    Координаты точки С – четвертой вершины параллелограмма;

2.    Найти проекции вектора АВ на вектор AD и вектора АD на вектор АВ;

3.    Найти угол между диагоналями параллелограмма;

4.    Найти площадь параллелограмма;

5.    Найти объем пирамиды, основанием которой является ∆АВС, а вершина расположена в начале координат.

Смотреть решение и ответ

    1. Находим координаты точки пересечения диагоналей, это середина диагонали АС: х=(2+5)/2=3,5; у=(9+4)/2=6,5; z=(7-5)/2=1, то есть О(3,5;6,5;1).
    2. Для диагонали ВD — эта точка так же является серединой: 3,5=(-3+х)/2, х=10; 6,5=(2+у)/2, у=11; 1= (4+z)/2, z=-2.

Ответ: (10;11;-2)

2.

    1. прAD АВ=AB•AD/|AD| или ABcosα
    2. Найдем угол между АВ и АD из скалярного произведения cos =

[свернуть]

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;-2;3) и параллельной плоскости x-y+3z-4=0

M(-1,0), N(4,1), K(1,3) – вершины треугольника MNK. Составить уравнения прямых MN, NK, MK. Найти в треугольнике MNK углы, длины медианы и высоты, проведенных из вершины M.

 

5 задание: Составить общее уравнение плоскости, заданной точкой    M(1, -1, 3) и нормальным вектором  (3, 2, -4).

 

6 задание:  a = (1, 2, -2), b = (0, -1, 4), c = (2, -3, 3) . Найти скалярное произведение векторов a*b.

Составить уравнение прямой, проходящей  через  центр кривой второго порядка 4х2+y2+16x-2y+15=0, перпендикулярно прямая 2x+y+5=0. Сделать чертеж.

Найти угол между плоскостями 

Найти расстояние от точки пересечения прямых   и  

Найти длину вектора 

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4.  Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

3) площадь грани А1А2А3;

4) объем пирамиды А1А2А3A4;

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

 Найти значение параметра α, при котором векторы   и   перпендикулярны, если 

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -1; 4) и линию пересечения плоскостей 2x + 3y – z = 2 и х = 1.

Точки А(-3; -2), В(0; -1) и С(2; 5) являются вершинами треугольника АВС. Определить координаты точки Н – основания медианы АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС.

Кривая второго порядка задана уравнением .

1) Привести уравнение кривой к каноническому виду.

2) Выписать параметры кривой.

 

 

Образцы решения задач 

  1. Дана пирамида с вершинами в точках A1(1;2;3), А2(-2;4;1), А3(7; 6; 3), А4(4; -3; -1). Найти:
    а) длину ребер А1А2, А1А3, А1А4;
    б) площадь грани А1А2А3;
    в) угол между ребрами А1А4 и А1А3
    г) объем пирамиды;
    д) длину высоты, опущенной на грань А1А2Аз.
  2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построенный на векторах АВ = (4; 3; 0), AD = (2; 1; 2) и ААХ = (-3; -2; 5). Найти:
    а) объем параллелепипеда;
    б) площадь грани ABCD;
    в) длину высоты, проведенной из вершины А\\
    г) угол между ребром АВ и диагональю BD\.
  3. Доказать, что точки А(-3; -7; -5), В(0; -1; -2) и С(2; 3; 0) лежат на одной прямой, причем точка В расположена между точками А и С.
      1. Решение: ā
  4. Векторы ā, ē, ū имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора ū, если ā=(1;1;0), ē=(0;1;-1). 
  5. Какой угол образуют единичные векторы а иЬ, если известно, что векторы m = a+2b и п = 5а—46 взаимно перпендикулярны.
  6. Зная, что а + b + с = 0, \а\ =3, |b| = 1, \с\ = 4, вычислить а·Ь + Ь·с + с·а.
  7. Векторы АВ = 2а — 6Ь, ВС = а + 76, СА = -За — 6 образуют треугольник ABC; векторы а и b — взаимно перпендикулярные орты. Найти углы треугольника ABC.
  8. Даны точки А(3;4; -2) и Б(2;5; —2). Найти проекцию вектора АВ на ось, составляющую с осями Ох и Оу углы а = 60° и β = 120°, а с осью Oz — тупой угол γ.
  9. Дано:_а =  6 = (2; 1; 2). Найти: а) а • b; б) угол между векторами а и в; в) проекцию вектора в на вектор а; г) проекцию вектора а на вектор в.
  10. Найти вектор Ь, коллинеарный вектору а = i + 2j — Зк и удовлетворяющий условию b•a = 28.
  11. Дано: |a|=2, |b|=1, φ=120. Найти модуль вектора с=2а-3в.
  12. Заданы векторы а = 2г + 3j, Ь = -3j — 2fc, с = г + j — к. Найти:
    1) координаты орта а0;
    2) координаты вектора а — ib + с;
    3) разложение вектора а + Ъ — 2с по базису г, j,h,
    4) npj(a-b).
  13. Дан вектор с = 4г + lj — 4fc. Найти вектор d, параллельный вектору с и противоположного с ним направления, если |й| = 27.
  14. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = i — 2j — 2к, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину \х\ = 15.
  15. Даны векторы а и b. Коллинеарны ли векторы с — а — 2д/3 • Ъ nd= -у/З-а + 6-V!
  16. Доказать, что треугольник с вершинами А(-2;-1), Б(6; 1), С(3; 4) — прямоугольный.
  17. Точки А(2;4), £(—3;7) и С(—6; 6) — три вершины параллелограмма, причем А и С — противоположные вершины. Найти четвертую вершину.
  18. Дан треугольник с вершинами А(—2;4), Б(—6;8), С(5; -6). Найти площадь этого треугольника.
  19. Дан треугольник с вершинами А(—2;4), Б(—6;8), С(5; -6).  Найти площадь этого треугольника.
  20. Найти длину вектора АВ, соединяющего точки А(—4; 5) и В(—6; 7), и угол между этим вектором и положительным направлением оси Ох.
  21. Отрезок с концами А(1;— 5) и Б(4; 3) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
  22. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(1;4) равно 5.
  23. Найти координаты точки, одинаково удаленной от осей координат и от координаты точки -4(1; 8).
  24. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках -4(3; 5) и С(1; —3). Найти его площадь.
  25. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого — точки А(-2; 3), Я(4; -5), С(-3; 1).
  26. Составить уравнение линии, точки которой равноотстоят от двух заданных точек А(-2; 0) и Б(4; 2).
  27. Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от прямой х = 2 и точки F(4; 0).
    • Решение: расстояние от прямой до точки d=(Ax0+By0+Cz0)/√(A2+B2+C2); d=√(4-x0)2+y02. Расстояния одинаковы, приравниваем, у2=4х-12.
  28. Указать какие из данных точек (1;1), (2;2), А(√3;—1), А (-1/2;9/4) лежат на кривой у = 2 — х2.
  29.  Найти точки пересечения кривой у =6+5х-х2 с осями координат.
  30. Найти точки пересечения линий х + 1у = 25 и х2 + у2 = 25.
  31. На окружности х2 Л- у2 = 25 найти точки:
    а) с абсциссой х = 3;
    б) с ординатой у = у0.
  32. Записать уравнение прямой у = 2х — 3 в отрезках и построить ее.
  33. Записать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальное для заданных прямых и определить на каком расстоянии от начала координат они находятся:
    а) 2х -Зу + б =0;
    б) х + 2,5 =0;
    в) у =х-1;
    г) х + 5у = 0.
  34. Найти угловой коэффициент к прямой и ординату точки ее пересечения с осью Оу, зная, что прямая проходит через точки (1;1) и (-2;3).
  35. Прямая проходит через точки Л(2;3) и В(—4;— 1), пересекает ось Оу в точке С. Найти координаты точки С.
  36. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А(—2; -2) и В(—1;6), и имеющая ординату, равную 22?
  37. Найти угол между прямыми:
    1) у = 2х — 3 и у = 1/2x + 5;
    2) 2х — Зу + 10 = 0 и 5х — у + 4 = 0;
    3) у = 3/4х — 2 и 8х + 6у + 5 = 0;
    4) у = 5х + 1 и у = 5х — 2.
  38. При каких значениях а следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны?
    1) 2х- Зу + 4 = 0 и ах — 6у + 7 = 0;
    2) ах — 4у + 1 = 0 и -2х + у + 2 = 0;
    3) 4х + у — 6 = 0 и Зх + ау — 2 = О;
    4) х — ау + 5 = О и 2х + 3у + 3 = О.
  39. Примеры заданий

    1. Каноническое уравнение прямой по точке и направляющему вектору

    Смотреть образец решения

     Составить канонические уравнения прямой по точке М (-2;0;3) и направляющему вектору а (4;1;-5).

    [свернуть]

    2. Параметрическое уравнение из канонического

    Смотреть образец решения

    Составить параметрические уравнения следующих прямых: . 

    [свернуть]
     

    3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и вектор. 

    3.1. Заданный вектор — это направляющий вектор. Его координаты подставляем в знаменатель.

    Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—2; 2/5) и образующей с осью Ох угол, равный arctg √3.

    4. Найти угловой коэффициент к прямой и ординату точки ее пересечения с осью Оу, зная, что прямая проходит через точки А(1;1) и В (-2;3).

    5. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = к(х — 2) выделить ту, которая проходит через точку А(—2; 5).

    6. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А(—2; -2) и В(—1;6), и имеющая ординату, равную 22?

    7. Составить уравнение прямой, если точка М(4;2) является серединой ее отрезка, заключенного между осями координат.

    8. Даны точка и прямая:  A(5;5) , 3x+y-2=0. Написать уравнения двух прямых, которые проходят через точку А, причем первая перпендикулярна данной прямой, а вторая параллельна ей.

    9. Составить уравнение прямой, параллельной биссектрисе координатного угла Оуz и проходящей через точку М(2; 1; —4).

    9.1. Составим уравнение биссектрисы: y=k•z+b=z, то есть y-z=0. Координаты направляющего вектора (0;1;-1).

    9.2. Искомая прямая параллельна биссектрисе, то есть имеет такие же координаты направляющего вектора.

    9.3. Записываем каноническое уравнение: х-х0/m=y-y0/n=z-z0/k, где m,n,k — координаты направляющего вектора, х0,у0,z0 — координаты заданной точки.

    Площадь параллелограмма находится как векторное произведение векторов, на которых построен параллелограмм. [/spoiler]

    Смотреть образец решения

    Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = Зр + q и b = р — 2q, где |р| = 4, |q| = 1, угол между p и q равен π/4

    S = (Зр + q)x(р — 2q)=3p2-6pq+qp-2q2=7qp=7|p||q|sinπ/4=14√2

1.Операции с векторами

1.Разложить вектор по заданным векторам, если заданы координаты векторов.

Смотреть алгоритм
[свернуть]

Пусть заданы векторы а(х1;у1), b (х2;у2), с (х3;у3). Необходимо разложить вектор а по векторам b и с. Это значит, что нужно понять, на что нужно умножить координаты векторов b и c, чтобы при дальнейшем их сложении или вычитании получились координаты вектора а.

1. составим уравнение для разложения по координате х: х1=к•х2+z•x3

2. составим уравнение для разложения у: у1=к•у2+z•y3

3. Решим систему уравнение, найдем к и z.

4. Тогда ответ можно записать так, a=k•b+z•c 

[свернуть]

Смотреть образец решения

Разложить вектор b = {8; 1} по базисным векторам p = {1; 2} и q = {3; 1}. Запишем уравнения для разложения по х и у и решим систему {1к+3z=8 и 2к+1z=1. Отсюда, к=-1 и z=3. Тогда, b=-p+3q 

[свернуть]

2. Найти вектор, который направлен противоположно данному.

Смотреть алгоритм

 Дано разложение вектора по i, j, k), и имеет определенную длину. 1) записать отношение коэффициентов векторов, они для коллинеарных векторов равны одному и тому же числу к; составляем выражения для коэффициентов искомого вектора с помощью к; 3) записываем теорему Пифагора для коэффициентов искомого вектора (так как известна его длина), находим к; 4) рассчитываем коэффициенты искомого вектора; составляем разложение.

[свернуть]

3. Найти вектор, зная, что он перпендикулярен заданным векторам.

Смотреть алгоритм

1. Задать координаты искомого вектора через х,у,z. 2. Записать координаты вектора, на который умножается искомый вектор. Пусть это будет вектор с. 3. Записать скалярное произведение координат перпендикулярных векторов, оно равно 0. 3. Составить систему уравнений из скалярных произведений координат векторов и произведения искомого вектора на  вектор с. Решаем систему уравнений, находим х, у, z. Выписывает ответ.

[свернуть]

Смотреть образец решения

 Найти вектор d, зная, что он перпендикулярен векторам а и b, где а (2;3;-1), b(1;-2;3) и d•(2i-j+k)=-6. 

  1. Обратим внимание, что даны не только векторы а и b, но и некий вектор с (2;-1;1), на который умножается вектор d и получается -6.
  2. Запишем координаты вектора d (x;y;z). Так как d и а, b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0. Запишем произведение соответствующих координат (скалярное произведение) и приравняем их к нулю, так же используем произведение вектора d и с, которое равно 6.
  3. Получаем систему: 2х+3у-z=0; x-2y+3z=0; 2x-y+z=-6. Решаем эту систему (лучше всего методом матриц — любым).
  4. Находим х=-3; у=3; z=3.
  5. Ответ: d(-3;3;3)

[свернуть]